直击要害：揭秘丑数的奥秘

闲谈

2024-02-29 00:49:28

丑数探秘：揭开 LeetCode 263 的算法谜团

什么是丑数？

丑数，顾名思义，是指在数字世界中一种特殊的数字，它只包含 2、3、5 这三个质因数。比如 1、2、3、4、5、6、8、9、10、12 这些数字都是丑数。

LeetCode 263 丑数问题

LeetCode 263 丑数问题，要求我们判断一个给定的整数 n 是否为丑数。乍一看，这个问题似乎很简单，但要想高效地解决它，却需要一点巧思和算法技巧。

动态规划算法：逐层递进的解法

解决 LeetCode 263 丑数问题的一种有效方法是使用动态规划算法。动态规划算法将问题分解为一系列子问题，并通过逐一解决子问题，逐步逼近最终答案。

在本例中，我们可以将丑数问题分解为如下子问题：

dp[1] = 1：1 是丑数。
对于 i > 1，计算 dp[i]：
- 如果 dp[i] 可以表示为 dp[p] * 2，其中 p 是某个丑数，则 dp[i] 为丑数。
- 如果 dp[i] 可以表示为 dp[q] * 3，其中 q 是某个丑数，则 dp[i] 为丑数。
- 如果 dp[i] 可以表示为 dp[r] * 5，其中 r 是某个丑数，则 dp[i] 为丑数。

算法步骤：按部就班的求解

根据动态规划算法的原理，我们可以将 LeetCode 263 丑数问题的求解过程分解为以下步骤：

初始化一个数组 dp，其中 dp[1] = 1。
对于 i 从 2 到 n：
- 计算 p = dp[i / 2]、q = dp[i / 3] 和 r = dp[i / 5]。
- 如果 p * 2 == i 或 q * 3 == i 或 r * 5 == i，则 dp[i] 为丑数。
返回 dp[n]。

代码示例：让算法落地

有了算法步骤的指引，我们就可以将它转化为代码，实现丑数的判断功能。以下是用 Python 编写的代码示例：

def is_ugly(n):
    if n == 0:
        return False

    dp = [1]
    p = q = r = 0

    for i in range(1, n):
        p2 = dp[p] * 2
        q3 = dp[q] * 3
        r5 = dp[r] * 5

        dp.append(min(p2, q3, r5))

        if dp[i] == p2:
            p += 1
        if dp[i] == q3:
            q += 1
        if dp[i] == r5:
            r += 1

    return dp[n - 1] == n