重新排序数字以获得 2 的幂：LeetCode 妙解，用 JavaScript 奏响算法之舞

前端

2023-10-09 20:53:12

序幕：问题引入

在算法的舞台上，我们常常会遇到需要重新排序数字以满足特定条件的问题。其中，重新排序数字以获得 2 的幂就是一个颇具挑战性的任务。

2 的幂是指任何可以表示为 2 的整数次方的数字，例如 2^0 = 1、2^1 = 2、2^2 = 4、2^3 = 8 等。

我们的目标是给定一个正整数 N，通过重新排列其数字（注意，前导数字不能为零），使得重新排列后的数字是 2 的幂。

例如，如果 N = 1234，我们可以将其重新排列为 2341，这是 2 的 12 次方（2^12 = 4096）。

第一幕：探索解决方案

面对这一挑战，我们首先需要探索可行的解决方案。一种直观的方法是使用贪婪算法。

贪婪算法是一种在每次迭代中做出局部最优选择，以期最终达到全局最优解的算法。在重新排序数字的问题中，贪婪算法可以按照以下步骤进行：

找到 N 中最大的数字，将其放在首位。
在剩余的数字中，找到最大的数字，将其放在第二位。
以此类推，直到所有数字都被重新排列。

虽然贪婪算法简单易懂，但它并不总是能找到最优解。为了获得最优解，我们需要引入另一种算法——递推算法。

递推算法是一种通过将问题分解成更小的子问题，然后逐步求解子问题，最终得到原问题的解的算法。在重新排序数字的问题中，递推算法可以按照以下步骤进行：

将 N 表示为 2 的幂的和，例如 N = 2^a + 2^b + 2^c + ...。
对于每个 2^x，找到一个数字 x 满足 2^x <= N 且 2^(x+1) > N。
将数字 x 放置在首位，将 N - 2^x 放置在第二位，依此类推。

递推算法可以保证找到最优解，但其时间复杂度较高。为了提高算法效率，我们可以使用动态规划算法。

动态规划算法是一种通过将问题分解成更小的子问题，然后将子问题的解存储起来，以避免重复计算的算法。在重新排序数字的问题中，动态规划算法可以按照以下步骤进行：

将 N 表示为 2 的幂的和，例如 N = 2^a + 2^b + 2^c + ...。
创建一个表 dp，其中 dp[i] 表示从 N 中选择 i 个数字重新排列后能得到的最大 2 的幂。
对于每个 i，计算 dp[i]：
- 如果 i == 0，则 dp[i] = 0。
- 否则，找到一个数字 x 满足 2^x <= N 且 2^(x+1) > N。
- 令 dp[i] = max(dp[i-1], 2^x + dp[i-x])。
返回 dp[N]。

动态规划算法的时间复杂度为 O(N log N)，空间复杂度为 O(N)。

第二幕：JavaScript 实现

在理解了算法之后，我们就可以使用 JavaScript 来实现它。以下是如何使用 JavaScript 实现递推算法的代码：

function rearrangeDigits(N) {
  // 将 N 表示为 2 的幂的和
  const powers = [];
  let n = N;
  let i = 0;
  while (n > 0) {
    if (n % 2 === 1) {
      powers.push(i);
    }
    n >>= 1;
    i++;
  }

  // 创建一个表 dp，其中 dp[i] 表示从 N 中选择 i 个数字重新排列后能得到的最大 2 的幂
  const dp = new Array(N + 1).fill(0);

  // 计算 dp[i]
  for (let i = 1; i <= N; i++) {
    for (const power of powers) {
      if (i - power >= 0) {
        dp[i] = Math.max(dp[i], Math.pow(2, power) + dp[i - power]);
      }
    }
  }

  // 返回 dp[N]
  return dp[N];
}