算法基础（二）| 带你走进高精度算法的殿堂

高精度算法在我们的日常生活中有着广泛的应用，例如：

• 密码学：高精度算法用于生成和验证密码。
• 金融：高精度算法用于计算利息和汇率。
• 科学计算：高精度算法用于模拟物理和化学过程。
• 图形学：高精度算法用于生成逼真的图像和动画。

在本文中，我们将详细介绍高精度算法的原理和实现。我们将从高精度加法开始，然后依次介绍高精度减法、高精度乘法和高精度除法。

高精度加法

高精度加法是高精度算法中最基本的操作。高精度加法的原理很简单，就是将两个大整数逐位相加，并将进位记入下一位。高精度加法的实现也很简单，我们可以使用一个循环来逐位相加，并使用一个变量来记录进位。

public static String add(String num1, String num2) {
    int len1 = num1.length();
    int len2 = num2.length();
    int maxLen = Math.max(len1, len2);
    int[] a = new int[maxLen + 1];
    int[] b = new int[maxLen + 1];
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        a[i] = num1.charAt(len1 - 1 - i) - '0';
    }
    for (int i = 0; i < len2; i++) {
        b[i] = num2.charAt(len2 - 1 - i) - '0';
    }
    int carry = 0;
    for (int i = 0; i < maxLen + 1; i++) {
        int sum = a[i] + b[i] + carry;
        a[i] = sum % 10;
        carry = sum / 10;
    }
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
    for (int i = maxLen; i >= 0; i--) {
        if (i == 0 && a[i] == 0) {
            continue;
        }
        sb.append(a[i]);
    }
    return sb.toString();
}

高精度减法

高精度减法与高精度加法类似，原理也很简单，就是将两个大整数逐位相减，并将借位记入下一位。高精度减法的实现也与高精度加法类似，我们可以使用一个循环来逐位相减，并使用一个变量来记录借位。

public static String subtract(String num1, String num2) {
    int len1 = num1.length();
    int len2 = num2.length();
    int maxLen = Math.max(len1, len2);
    int[] a = new int[maxLen + 1];
    int[] b = new int[maxLen + 1];
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        a[i] = num1.charAt(len1 - 1 - i) - '0';
    }
    for (int i = 0; i < len2; i++) {
        b[i] = num2.charAt(len2 - 1 - i) - '0';
    }
    int borrow = 0;
    for (int i = 0; i < maxLen + 1; i++) {
        int diff = a[i] - b[i] - borrow;
        if (diff < 0) {
            diff += 10;
            borrow = 1;
        } else {
            borrow = 0;
        }
        a[i] = diff;
    }
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
    for (int i = maxLen; i >= 0; i--) {
        if (i == 0 && a[i] == 0) {
            continue;
        }
        sb.append(a[i]);
    }
    return sb.toString();
}

高精度乘法

高精度乘法是高精度算法中相对复杂的操作。高精度乘法的原理是将两个大整数逐位相乘，并将进位记入下一位。高精度乘法的实现也相对复杂，我们可以使用一个循环来逐位相乘，并使用一个变量来记录进位。

public static String multiply(String num1, String num2) {
    int len1 = num1.length();
    int len2 = num2.length();
    int[] a = new int[len1 + len2];
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        int n1 = num1.charAt(len1 - 1 - i) - '0';
        for (int j = 0; j < len2; j++) {
            int n2 = num2.charAt(len2 - 1 - j) - '0';
            int product = n1 * n2;
            a[i + j] += product % 10;
            a[i + j + 1] += product / 10;
        }
    }
    int carry = 0;
    for (int i = 0; i < len1 + len2; i++) {
        int sum = a[i] + carry;
        a[i] = sum % 10;
        carry = sum / 10;
    }
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
    for (int i = len1 + len2 - 1; i >= 0; i--) {
        if (i == 0 && a[i] == 0) {
            continue;
        }
        sb.append(a[i]);
    }
    return sb.toString();
}

高精度除法

高精度除法是高精度算法中最复杂的操作。高精度除法的原理是将被除数逐位除以除数，并将余数记入下一位。高精度除法的实现也相对复杂，我们可以使用一个循环来逐位除以除数，并使用一个变量来记录余数。

public static String divide(String num1, String num2) {
    int len1 = num1.length();
    int len2 = num2.length();
    if (len1 < len2) {
        return "0";
    }
    int[] a = new int[len1 + 1];
    int[] b = new int[len2 + 1];
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        a[i] = num1.charAt(len1 - 1 - i) - '0';
    }
    for (int i = 0; i < len2; i++) {
        b[i] = num2.charAt(len2 - 1 - i) - '0';
    }
    int[] q = new int[len1 - len2 + 1];
    int r = 0;
    for (int i = len1 - len2; i >= 0; i--) {
        int n1 = a[i + len2] + r * 10;
        int n2 = b[len2 - 1];
        int q