完美的扫描视角：掌握高效算法，解决完美矩形难题

2023-09-16 04:02:37

算法概述
扫描线算法是一种在计算机科学中常用的算法，特别是几何算法领域。扫描线算法通常用于解决与线段或多边形相关的几何问题。其基本思想是将问题区域划分为水平线段，然后逐行扫描这些水平线段，并根据线段的交点和重叠情况来计算最终结果。

算法原理

首先，将所有矩形按照其下边缘的纵坐标进行排序。
然后，从下到上依次扫描每一行。
在扫描每一行时，将该行的所有矩形按照其左边缘的横坐标进行排序。
对于每一行中的每个矩形，检查它是否与之前扫描过的矩形相交。
如果矩形相交，则将相交的矩形合并成一个更大的矩形。
如果矩形不相交，则将该矩形添加到结果集中。
重复步骤 2 到 6，直到所有行都扫描完成。

算法分析

时间复杂度：O(n log n)，其中 n 是矩形数量。
空间复杂度：O(n)，其中 n 是矩形数量。

代码实现

def isRectangleCover(rectangles):
    """
    :type rectangles: List[List[int]]
    :rtype: bool
    """
    if len(rectangles) == 0:
        return False

    # 将矩形按其下边缘的纵坐标进行排序
    rectangles.sort(key=lambda x: x[1])

    # 将矩形按其左边缘的横坐标进行排序
    rectangles.sort(key=lambda x: x[0])

    # 初始化结果集
    result = []

    # 扫描每一行
    for i in range(len(rectangles)):
        # 如果矩形与结果集中的矩形相交
        if isIntersect(rectangles[i], result):
            return False

        # 将矩形添加到结果集中
        result.append(rectangles[i])

    # 检查结果集是否覆盖整个区域
    if not isCover(result):
        return False

    return True


def isIntersect(rect1, rect2):
    """
    判断两个矩形是否相交
    """
    if rect1[0] > rect2[2] or rect1[2] < rect2[0]:
        return False
    if rect1[1] > rect2[3] or rect1[3] < rect2[1]:
        return False
    return True


def isCover(rectangles):
    """
    检查结果集是否覆盖整个区域
    """
    # 计算结果集的面积
    area = 0
    for rect in rectangles:
        area += (rect[2] - rect[0]) * (rect[3] - rect[1])

    # 计算整个区域的面积
    min_x = rectangles[0][0]
    max_x = rectangles[0][2]
    min_y = rectangles[0][1]
    max_y = rectangles[0][3]
    for rect in rectangles:
        min_x = min(min_x, rect[0])
        max_x = max(max_x, rect[2])
        min_y = min(min_y, rect[1])
        max_y = max(max_y, rect[3])
    total_area = (max_x - min_x) * (max_y - min_y)

    # 检查两个面积是否相等
    return area == total_area