统计按位或的最大值子集数：二进制枚举、状压 DP 和 DFS

2024-01-19 01:37:37

如何利用二进制枚举、状压 DP 和 DFS 轻松解决 LeetCode 2044 题

在算法的世界中，解决 LeetCode 2044 题可能让你望而生畏，它要求你找出可以使按位或运算结果最大的子集数目。但别担心，我们有妙招！通过巧妙地结合二进制枚举、状压动态规划（DP）和深度优先搜索（DFS），我们可以优雅地攻克这个难题。

二进制枚举：子集的二进制表示

想象一下，我们有一组元素，每个元素用一个二进制位来表示。通过遍历所有可能的二进制组合，我们可以生成所有可能的子集。例如，对于集合 {1, 2, 3}，有 2^3 = 8 个可能的子集：

001：{1}
010：{2}
011：{1, 2}
100：{3}
101：{1, 3}
110：{2, 3}
111：{1, 2, 3}

状压 DP：用状态数组记录子集信息

为了跟踪每个子集的最大按位或值，我们使用一个状态数组 dp。每个状态 dp[mask] 代表一个子集，其中 mask 是一个二进制数，表示该子集中包含的元素。

我们系统地从较小的子集开始构建更大的子集，在每个步骤中更新状态数组。具体来说，对于每个子集 mask，我们遍历所有可能的元素 i，并将 i 加入子集（即将 mask 的第 i 位设为 1）。然后，我们计算按位或的结果 dp[mask | (1 << i)]，并与 dp[mask] 进行比较，取最大值。

DFS：递归枚举所有子集

DFS（深度优先搜索）为我们提供了一种递归的方式来枚举所有可能的子集。我们从根节点（空集）开始，递归地遍历所有可能的路径。每当我们遇到一个叶节点（即一个子集），我们就按位或叶节点中的元素，并跟踪按位或的最大值。

代码实现

以下是使用 Python 实现的代码：

def max_subset_or(nums):
  # 二进制枚举
  n = len(nums)
  max_or = 0
  for mask in range(1 << n):
    subset = []
    for i in range(n):
      if (mask >> i) & 1:
        subset.append(nums[i])
    or_value = 0
    for num in subset:
      or_value |= num
    max_or = max(max_or, or_value)
  return max_or