掌握二分法精髓，巧解数组中位数

2023-11-15 03:46:29

如何使用二分法查找两个已排序数组的中位数

概述

在数据科学和算法设计领域，查找数组的中位数是一个经常遇到的任务。中位数是将数组排序后，位于中间位置的元素。对于一个单个数组来说，求中位数相对容易。然而，当我们需要处理两个已排序数组时，问题就变得更复杂了。本文将介绍一种使用二分法的有效方法来解决这个问题，并提供详细的代码示例。

二分法的威力

二分法是一种分治算法，它通过将搜索空间不断减半，可以高效地查找排序数组中的元素。在查找两个已排序数组的中位数时，我们可以利用二分法的特性来有效地缩小搜索范围，从而快速找到中位数。

算法步骤

使用二分法查找两个已排序数组的中位数的步骤如下：

计算总长度： 首先，计算两个数组的总长度 m + n，其中 m 和 n 分别是第一个数组和第二个数组的长度。
确定中位数位置： 中位数的位置等于 (m + n + 1) / 2。如果 m + n 是奇数，则中位数位于数组中的第 (m + n + 1) / 2 个元素；如果 m + n 是偶数，则中位数为第 (m + n) / 2 个元素和第 (m + n + 2) / 2 个元素的平均值。
使用指针： 使用两个指针 i 和 j，分别指向第一个数组和第二个数组。
比较元素： 比较 i 和 j 指针指向的元素 a[i] 和 b[j]，并进行以下操作：
- 如果 a[i] 小于或等于 b[j]，则将指针 i 向右移动一位。
- 否则，将指针 j 向右移动一位。
重复比较： 重复步骤 4，直到 i 或 j 超过各自数组的长度。
计算中位数： 根据 i 和 j 的最终位置，计算中位数。

时间复杂度

二分法的平均时间复杂度为 O(log(m + n))，其中 m 和 n 是两个数组的长度。这是因为在每一步中，我们都会将搜索空间减少一半。

空间复杂度

该算法的空间复杂度为 O(1)，因为我们只需要使用常数数量的变量。

代码示例

以下 Python 代码展示了如何使用二分法查找两个已排序数组的中位数：

def find_median_sorted_arrays(nums1, nums2):
    """
    :type nums1: List[int]
    :type nums2: List[int]
    :rtype: float
    """
    m, n = len(nums1), len(nums2)
    p1, p2 = 0, 0

    # 奇数长度数组的中位数位置
    if (m + n) % 2:
        mid = (m + n) // 2 + 1
    # 偶数长度数组的中位数位置
    else:
        mid = (m + n) // 2

    for _ in range(mid - 1):
        if p1 < m and nums1[p1] <= nums2[p2]:
            p1 += 1
        elif p2 < n:
            p2 += 1

    # 处理奇偶数长度情况
    if (m + n) % 2:
        return max(nums1[p1 - 1] if p1 > 0 else float('-inf'), nums2[p2 - 1] if p2 > 0 else float('-inf'))
    else:
        num1 = max(nums1[p1 - 1] if p1 > 0 else float('-inf'), nums2[p2 - 1] if p2 > 0 else float('-inf'))
        num2 = min(nums1[p1] if p1 < m else float('inf'), nums2[p2] if p2 < n else float('inf'))
        return (num1 + num2) / 2