洛谷 P2651 算法之旅：添加括号 III

算法刷题【洛谷P2651】添加括号III

引言

在算法刷题的漫漫长路中，洛谷平台上的难题犹如一颗颗璀璨的星辰，指引着我们不断前行。今天，我们就将踏上洛谷 P2651 的征途，开启一段算法之旅。这道题名为“添加括号 III”，它将考验我们的动态规划功力。

题目解析

我们面对的是一个形如 a_1/a_2/a_3/... / a_n 的表达式。当我们直接计算时，就是一个个除过去，例如 $1/2/1/4 = 1/8$。然而，题目给出了一个提示：我们可以通过添加括号来改变表达式的计算顺序，从而得到不同的结果。

动态规划解法

要解决这个问题，我们不妨引入动态规划的思想。我们定义状态 dp(i, j) 为在子区间 [i, j] 内添加括号后的最大值。

根据括号的添加方式，我们可以得出状态转移方程：

dp(i, j) = max(dp(i, k) / dp(k + 1, j))，其中 i <= k < j

其中，我们枚举子区间 [i, j] 的所有分割点 k，并计算出两部分的最大值之比。最终，我们只需返回 dp(1, n) 即可得到整个表达式的最大值。

实现细节

为了高效实现该算法，我们可以使用一个二维数组来存储状态 dp。对于每个子区间 [i, j]，我们首先判断它是否为基本情况（i == j），如果是，则直接返回 a_i。否则，我们枚举所有的分割点 k，计算两部分的最大值之比并取最大值。

示例代码

import sys

def max_expression(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]

    # 初始化基本情况
    for i in range(n):
        dp[i][i] = nums[i]

    # 动态规划求解
    for l in range(2, n + 1):
        for i in range(n - l + 1):
            j = i + l - 1
            for k in range(i, j):
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] / dp[k + 1][j])

    return dp[0][n - 1]

# 测试用例
nums = [1, 2, 1, 4]
print(max_expression(nums))  # 输出：2

总结

通过这道洛谷 P2651 算法刷题，我们不仅学习了动态规划的思想，还掌握了添加括号改变表达式计算顺序的方法。在算法的世界里，没有捷径可走，只有脚踏实地、一步一个脚印才能不断突破自我。