找到连续递增的最长子序列并破解其中的奥秘

动态规划：揭开最长连续递增子序列的奥秘

在计算机科学中，最长连续递增子序列 (LIS) 问题是一项经典挑战，它要求我们从一个无序数组中找出最长且连续递增的子序列。本文将带你踏上动态规划算法的探险之旅，让你了解如何巧妙地解决这个难题。

理解动态规划算法

动态规划是一种自底向上的问题解决方法，它将大问题分解成一系列较小的子问题。它通过保存子问题的解决方案来避免重复计算，从而显著提高效率。

动态规划算法步骤

解决 LIS 问题时，动态规划算法遵循以下步骤：

1. 初始化： 创建长度与给定数组相同的数组 dp，并将所有元素初始化为 1。dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长连续递增子序列的长度。

2. 迭代： 从数组的第二个元素开始，对于每个元素 nums[i] 执行以下步骤：

- 遍历 `nums[i]` 之前的元素，如果 `nums[i]` 大于 `nums[j]` 且 `dp[i]` 小于 `dp[j] + 1`，则更新 `dp[i] = dp[j] + 1`。
- 如果 `nums[i]` 大于或等于 `nums[j]` 且 `dp[i]` 小于 `dp[j] + 1`，则更新 `dp[i] = dp[j] + 1`。

3. 结果： 迭代完成后，dp 数组的最后一个元素 dp[n-1] 就是 LIS 的长度。

代码示例

def lis(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n

    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j] and dp[i] < dp[j] + 1:
                dp[i] = dp[j] + 1

    return max(dp)

复杂度分析

• 时间复杂度： O(n^2)
• 空间复杂度： O(n)

示例演示

考虑数组 nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]。

初始化：

dp = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

迭代：

• 当 i = 1 时，nums[1] = 9 < nums[0]，因此 dp[1] 保持为 1。
• 当 i = 2 时，nums[2] = 2 < nums[0] 和 nums[1]，因此 dp[2] 保持为 1。
• 当 i = 3 时，nums[3] = 5 > nums[2]，因此 dp[3] 更新为 dp[2] + 1 = 2。
• 当 i = 4 时，nums[4] = 3 < nums[3]，因此 dp[4] 保持为 1。
• 当 i = 5 时，nums[5] = 7 > nums[3] 和 nums[4]，因此 dp[5] 更新为 dp[3] + 1 = 3。
• 当 i = 6 时，nums[6] = 101 > nums[5]，因此 dp[6] 更新为 dp[5] + 1 = 4。
• 当 i = 7 时，nums[7] = 18 > nums[6]，因此 dp[7] 更新为 dp[6] + 1 = 5。

结果：

dp[7] = 5，因此 LIS 的长度为 5。

常见问题解答

1. 动态规划算法如何处理相等元素？

如果两个元素相等，则它们的 dp 值保持不变。

2. 动态规划算法如何找到 LIS？

一旦计算出 dp 数组，LIS 即可通过回溯 dp 值来找到。

3. 动态规划算法是否适用于所有最长子序列问题？

不，它仅适用于连续子序列问题。

4. 动态规划算法为什么能够避免重复计算？

dp 数组存储子问题的解决方案，避免了在后续步骤中重复计算相同的问题。

5. 动态规划算法有哪些其他应用？

动态规划广泛应用于编辑距离、矩阵连乘和背包问题等优化问题。