剖析动态规划的精髓：以斐波那契数列（LeetCode 509）为例

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2023-12-29 17:07:35

揭秘动态规划：一种攻克算法难题的利器

在计算机科学的浩瀚领域中，动态规划（DP）脱颖而出，成为解决复杂算法难题的一把利器。它巧妙地将庞大问题化繁为简，通过逐步求解相互关联的子问题，不断逼近最终答案。

动态规划的精髓

DP 的核心思想在于“分而治之”。它将复杂问题分解成一系列更小、更易管理的子问题，然后再逐步解决这些子问题，逐步构建出问题的整体解法。这种分步求解的策略，使算法能够有效地解决规模庞大、直接求解难度较高的难题。

DP 的四要素

DP 算法的实施包含以下四个关键要素：

状态定义： 明确问题中需要跟踪的关键属性，即问题的状态。
DP 数组： 构建一个表格（称为 DP 数组），其中每个单元格存储与特定状态关联的解。
状态转移方程： 设定规则，指导如何从已知状态转移到未知状态，即如何更新 DP 数组中的值。
边界条件： 明确算法的起点和终点，即 DP 数组的初始值和终止条件。

斐波那契数列中的 DP 应用

为了更深入地理解 DP，让我们以斐波那契数列为例。斐波那契数列是一个著名的数列，其第 n 项由前两项之和决定。

状态定义： 斐波那契数列的第 n 项可以表示为 F(n)，因此，我们定义状态为 F(n)。

DP 数组： 我们使用一个 DP 数组 fib，其中 fib[i] 存储斐波那契数列第 i 项的值。

状态转移方程： 根据斐波那契数列的定义，我们可以推导出以下状态转移方程：

fib[n] = fib[n-1] + fib[n-2]

边界条件： 斐波那契数列的前两项为 F(0) = 0 和 F(1) = 1。因此，我们的 DP 数组的边界条件为：

fib[0] = 0
fib[1] = 1

Python 代码实现

def fibonacci(n):
  """
  使用动态规划计算斐波那契数列的第 n 项。

  参数：
    n (int): 斐波那契数列的项数。

  返回：
    int: 斐波那契数列的第 n 项。
  """

  # 初始化 DP 数组
  fib = [0, 1]

  # 根据状态转移方程填充 DP 数组
  for i in range(2, n + 1):
    fib.append(fib[i-1] + fib[i-2])

  # 返回第 n 项
  return fib[n]