用记忆化深度优先搜索解题：leetcode 377. Combination Sum IV（python）

问题

给定一个正整数数组 nums 和一个正整数 target，返回在该数组中可以从 nums 中取出任意数字（包括重复数字）和，正好等于 target 的组合的个数。

示例：

nums = [1, 2, 3]
target = 4
输出：7

解释：
1+1+1+1 = 4
1+2+1 = 4
1+3 = 4
2+2 = 4
2+1+1 = 4
3+1 = 4
1+1+2 = 4

解题思路

该问题可以用记忆化深度优先搜索（DFS）来求解。具体步骤如下：

1. 将 target 作为参数，以 target 为键，将所有组合的个数作为值，创建一个字典 memo。
2. 递归函数 dfs，函数参数为以下三个变量：

• numbers：用于计算和的数字数组
• target：目标和
• memo：用于存储已经计算过的结果的字典

3. 在 dfs 中，如果 target 等于 0，则说明已经找到了一个组合，将组合的个数加 1 并返回。
4. 如果 target 小于 0，则说明当前的组合是不合格的，直接返回。
5. 如果 memo 中已经存在 target 的值，则直接返回 memo 中的值。
6. 否则，对于每个 numbers 中的数字，创建一个新的数组 new_numbers，将该数字添加到 new_numbers 中，并调用 dfs(new_numbers, target - number, memo)。
7. 将 dfs 的结果存储在 memo 中，并返回结果。

实现代码

def combinationSum4(nums, target):
  """
  :type nums: List[int]
  :type target: int
  :rtype: int
  """
  def dfs(numbers, target, memo):
    if target == 0:
      return 1
    if target < 0:
      return 0
    if target in memo:
      return memo[target]

    result = 0
    for number in numbers:
      new_numbers = numbers.copy()
      new_numbers.append(number)
      result += dfs(new_numbers, target - number, memo)

    memo[target] = result
    return result

  memo = {}
  return dfs(nums, target, memo)

示例

nums = [1, 2, 3]
target = 4
result = combinationSum4(nums, target)
print(result)  # 7

难点与注意事项

该问题的主要难点在于如何使用记忆化来优化深度优先搜索。如果没有使用记忆化，则时间复杂度将是指数级的。

需要注意的是，在 dfs 函数中，我们使用 new_numbers 来创建一个新的数组，而不是直接修改 numbers。这是因为在 python 中，列表是可变对象，如果直接修改 numbers，则会影响到递归调用的结果。

总结

本文主要介绍了使用记忆化深度优先搜索来解决 leetcode 377. Combination Sum IV（python）问题。我们回顾了问题的，介绍了该问题的解题思路，给出了实现代码和具体的示例，并总结了该问题的难点以及一些常见的注意事项。