二进制网格中连续一的最大数量：动态规划与滑动窗口的完美融合

2023-12-24 09:08:24

问题引入

给你一个由0和1组成的二进制网格grid，其中0代表空地，1代表障碍物。你从网格的左上角出发，每次只能向下或向右移动一步。你的目标是找到一条从左上角到右下角的最短路径，并最大化路径上的连续1的数量。

动态规划算法

为了解决这个问题，我们可以采用动态规划算法。首先，我们将网格划分为子问题，即从左上角到网格中每个位置的最短路径。然后，我们可以使用动态规划的思想，逐步求解每个子问题，并将结果存储起来。

具体来说，我们可以定义一个dp数组，其中dp[i][j]表示从左上角到网格中位置(i, j)的最短路径。我们可以使用以下递推公式来计算dp数组：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

其中，grid[i][j]表示网格中位置(i, j)的值。

滑动窗口算法

除了动态规划算法之外，我们还可以使用滑动窗口算法来解决这个问题。滑动窗口算法是一种巧妙的算法，它可以将一个大问题分解成一系列的小问题，从而简化问题的求解。

具体来说，我们可以定义一个滑动窗口，该窗口的大小为k。我们将窗口从网格的左上角开始向右滑动，并计算窗口内连续1的数量。如果窗口内连续1的数量大于当前最大连续1的数量，则更新最大连续1的数量。

算法实现

def max_consecutive_ones(grid):
    """
    计算二进制网格中连续一的最大数量。

    参数：
    grid: 由0和1组成的二进制网格。

    返回值：
    连续一的最大数量。
    """

    # 初始化dp数组
    dp = [[0 for _ in range(len(grid[0]))] for _ in range(len(grid))]

    # 计算dp数组
    for i in range(len(grid)):
        for j in range(len(grid[0])):
            if grid[i][j] == 1:
                if i == 0 and j == 0:
                    dp[i][j] = 1
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1

    # 计算最大连续1的数量
    max_consecutive_ones = 0
    for i in range(len(grid)):
        for j in range(len(grid[0])):
            max_consecutive_ones = max(max_consecutive_ones, dp[i][j])

    return max_consecutive_ones


# 测试代码
grid = [[0, 0, 1, 0, 0],
       [1, 1, 1, 1, 0],
       [0, 1, 1, 1, 1],
       [0, 0, 1, 1, 1]]
print(max_consecutive_ones(grid))  # 输出：4