贝叶斯统计中的 Gibbs 采样：从原理到实践

人工智能

2023-12-16 20:21:49

导言

在贝叶斯统计的世界中，Gibbs 采样是一种强大的马尔可夫链蒙特卡罗 (MCMC) 算法，它使我们能够从复杂的概率分布中抽取样本。在本文中，我们将深入探讨 Gibbs 采样的原理、有效性的证明，以及在主题模型估计中的实际应用。

Gibbs 采样的原理

Gibbs 采样是一个迭代算法，它通过重复以下步骤从联合分布中抽取样本：

选择一个变量 ：从所有随机变量中选择一个变量。
条件抽样 ：使用其他所有变量的当前值，从所选变量的条件分布中抽取新值。
更新：用新值更新所选变量。
重复：重复步骤 1-3，直到满足收敛条件。

通过这种方式，Gibbs 采样链在联合分布上遍历，产生一系列相关样本。

Gibbs 采样为何有效

Gibbs 采样有效性的关键在于 马尔可夫性质 。每次迭代中，新值仅取决于当前变量状态，而与算法历史无关。因此，算法收敛到平稳分布，即所抽取样本的分布与目标联合分布相同。

证明 Gibbs 采样有效性

假设联合分布由条件分布分解为：

p(X_1, X_2, ..., X_n) = p(X_1 | X_2, ..., X_n)p(X_2 | X_3, ..., X_n)...p(X_n | X_1, ..., X_{n-1})

Gibbs 采样的步骤如下：

p(X_1 | X_2^{(t)}, ..., X_n^{(t)}) = p(X_1 | X_2^{(t-1)}, ..., X_n^{(t)})p(X_2^{(t)} | X_1^{(t)}, X_3^{(t-1)}, ..., X_n^{(t)})...p(X_n^{(t)} | X_1^{(t)}, ..., X_{n-1}^{(t-1)})

其中，上标 (t) 表示第 t 次迭代。

根据归纳原理，可以证明在 t → ∞ 时，p(X_1^{(t)}, X_2^{(t)}, ..., X_n^{(t)}) → p(X_1, X_2, ..., X_n)。

Gibbs 采样在主题模型估计中的应用

在自然语言处理中，Gibbs 采样广泛应用于主题模型估计，如隐含狄利克雷分配 (LDA)。LDA 是一个生成模型，它将文本语料库中的文档建模为由潜在主题组合而成。

使用 Gibbs 采样，我们可以迭代抽取主题、单词和文档分配。通过多次迭代，模型的参数估计会收敛到后验分布。

具体实现

为了在 LDA 中实现 Gibbs 采样，我们执行以下步骤：

初始化 ：随机分配主题给每个单词。
迭代：
a. 选择一个单词 ：从文档中随机选择一个单词。
b. 计算条件分布 ：计算每个主题的条件概率，即单词属于该主题的概率。
c. 抽样主题 ：根据条件分布从主题中抽取新主题。
d. 更新：将单词分配给新主题。
重复：重复步骤 2a-2d，直到满足收敛条件。