用 1 的数量对二进制数进行排序

后端

2023-10-01 09:11:56

用二进制位运算对整数数组进行排序：一种高效的方法

概述

在计算机科学中，高效地对数据进行排序至关重要。排序算法决定了处理和分析数据的效率。本文介绍了一种独特且高效的方法，用于根据数字二进制表示中 1 的数量对整数数组进行排序。

这种技术在优化数据结构、搜索算法和解决各种计算问题中有着广泛的应用。

算法原理

我们的算法基于一个简单的观察：数字二进制表示中 1 的数量反映了该数字中设置的比特位数。因此，我们可以通过计算每个数字二进制表示中 1 的数量，并使用该数量作为排序键，对数组进行排序。

为了有效地计算 1 的数量，我们将使用位操作。位操作允许我们直接操作数字的二进制表示。具体来说，我们将使用按位与运算符 (&) 和按位右移运算符 (>>)。

算法步骤

以下是算法的详细步骤：

计算 1 的数量： 对于数组中的每个数字，计算其二进制表示中 1 的数量。可以使用位操作符 (&) 和按位右移 (>>) 运算符来实现此操作。
创建映射： 创建两个映射：一个将数字映射到其 1 的数量，另一个将 1 的数量映射到数字的数组。
对 1 的数量排序： 对 1 的数量进行排序，从小到大。
重建数组： 使用 1 的数量映射，重建排序后的数组。对于每个 1 的数量，将相应的数字数组添加到最终结果中。

示例

假设我们有一个数组 arr = [3, 1, 2, 0].

计算 1 的数量：
- 3 的二进制表示为 11，1 的数量为 2。
- 1 的二进制表示为 1，1 的数量为 1。
- 2 的二进制表示为 10，1 的数量为 1。
- 0 的二进制表示为 0，1 的数量为 0。
创建映射：
- 数字到 1 的数量：{3: 2, 1: 1, 2: 1, 0: 0}
- 1 的数量到数字：{0: [0], 1: [1, 2], 2: [3]}
对 1 的数量排序：
- {0, 1, 2}
重建数组：
- 0 的数量：0 -> [0]
- 1 的数量：1 -> [1, 2]
- 2 的数量：2 -> [3]

最终排序后的数组为 [0, 1, 2, 3].

实现

以下是该算法的 Python 实现：

def sort_by_ones(arr):
    """
    对整数数组按二进制中 1 的数量进行排序。

    参数：
    arr: 需要排序的整数数组。

    返回：
    一个按二进制中 1 的数量排序后的新数组。
    """

    # 创建数字到 1 的数量的映射
    num_to_ones = {}
    for num in arr:
        ones = bin(num).count('1')
        num_to_ones[num] = ones

    # 创建 1 的数量到数字的映射
    ones_to_nums = {}
    for num, ones in num_to_ones.items():
        if ones not in ones_to_nums:
            ones_to_nums[ones] = []
        ones_to_nums[ones].append(num)

    # 对 1 的数量进行排序
    sorted_ones = sorted(ones_to_nums.keys())

    # 重建排序后的数组
    sorted_arr = []
    for ones in sorted_ones:
        sorted_arr.extend(ones_to_nums[ones])

    return sorted_arr