精益爬楼梯：使用最小花费达致巅峰！

2023-11-12 09:43:18

导言：解题策略一览
力扣第 746 题“使用最小花费爬楼梯”是一道经典的动态规划问题，旨在计算在既定条件下爬完楼梯所需花费的最小金额。为了解决该题，我们将在本文中为您介绍三种方法：递归算法、动态规划以及数学方法。每种方法都独具特色，它们将分别从不同视角为您解读题目的精妙之处。

一、剑走偏锋：递归算法

对于某些解题者而言，递归算法不失为一种可行的策略。该方法的基本思路在于将问题分解成一系列子问题。简言之，我们将把问题分成若干小块，逐一解决，最终得到问题的整体答案。

假设当前所处楼层为 i，有两种方案可供选择：一是跨过一个台阶，到达 i+1 层；二是跨过两个台阶，到达 i+2 层。因此，若我们知道到达第 i 层所需的最小花费，那么到达第 i+1 层或 i+2 层所需的最小花费便是显而易见的。

// 递归函数
int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
    // 终止条件
    if (cost.length == 0) {
        return 0;
    }
    if (cost.length == 1) {
        return cost[0];
    }

    // 递归计算
    int minCost1 = minCostClimbingStairs(Arrays.copyOfRange(cost, 1, cost.length));
    int minCost2 = minCostClimbingStairs(Arrays.copyOfRange(cost, 2, cost.length));

    // 返回最小花费
    return Math.min(minCost1, minCost2) + cost[0];
}

二、化繁为简：动态规划

动态规划是一种极为强大的算法，它将复杂问题逐一拆分，逐步解决，最终得到整体答案。该方法以自底向上的方式进行，从最简单的情况开始，逐步扩展至复杂的情况。

在这个问题中，我们将定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示到达第 i 层所需的最小花费。对于每一个 i，我们都可以通过考虑跨过一个台阶或两个台阶到达第 i 层而求得 dp[i] 的值。

// 动态规划函数
int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
    // 初始化
    int n = cost.length;
    int[] dp = new int[n + 1];

    // 边界条件
    dp[0] = 0;
    dp[1] = cost[0];

    // 动态规划计算
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
    }

    // 返回最小花费
    return dp[n];
}

三、一览全局：数学方法

力扣第 746 题“使用最小花费爬楼梯”也可以通过数学方法解决。该方法依赖于斐波那契数列的特性，它将问题简化为一个数学问题，并利用斐波那契数列的公式计算出最终答案。

在该问题中，斐波那契数列的第 n 项 f(n) 表示到达第 n 层所需的最小花费。根据斐波那契数列的定义，有以下公式：

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

因此，我们可以利用该公式递推计算出斐波那契数列的每一项，从而得到到达第 n 层所需的最小花费。

// 数学方法
int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
    // 初始化
    int n = cost.length;
    int[] f = new int[n + 1];

    // 边界条件
    f[0] = 0;
    f[1] = cost[0];

    // 数学计算
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        f[i] = Math.min(f[i - 1] + cost[i - 1], f[i - 2] + cost[i - 2]);
    }

    // 返回最小花费
    return f[n];
}