精通 LeetCode：破解剑指 Offer 60 抛掷骰子之奥秘

2024-02-14 12:08:55

一、题目剖析

剑指 Offer 60 的题目看似简单，但实际上它包含了丰富的数学和算法知识。首先，我们需要明确题目的目标：求出抛掷 n 个骰子后，所有可能点数之和的概率。

二、直观理解

为了直观地理解这道题，我们可以先从一个简单的例子入手。假设我们只抛掷一枚骰子，那么点数之和的可能值只有 1 到 6，每个值的概率都为 1/6。

当我们抛掷两枚骰子时，点数之和的可能值就变得更多了，从 2 到 12 共 11 种可能。我们可以用一个表格来列出所有可能的点数之和及其对应的概率：

点数之和	概率
2	1/36
3	2/36
4	3/36
5	4/36
6	5/36
7	6/36
8	5/36
9	4/36
10	3/36
11	2/36
12	1/36

三、动态规划算法

随着骰子数量的增加，可能点数之和的数量也会呈指数级增长。为了高效地解决这个问题，我们可以使用动态规划算法。动态规划算法是一种自底向上的求解方法，它将问题分解成一系列子问题，然后逐一求解这些子问题，最终得到整个问题的解。

在剑指 Offer 60 中，我们可以将子问题定义为：抛掷 n 个骰子，点数之和为 s 的概率。那么，我们可以根据以下递推关系来计算子问题的解：

dp[n][s] = ∑(dp[n-1][s-i] * 1/6) (i = 1, 2, 3, ..., 6)

其中，dp[n][s] 表示抛掷 n 个骰子，点数之和为 s 的概率。

四、代码实现

def dices_sum(n):
  """
  计算抛掷 n 个骰子，所有可能点数之和的概率。

  参数:
    n: 骰子数量

  返回:
    一个浮点数数组，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 个元素出现的概率。
  """

  # 初始化动态规划表
  dp = [[0] * (6 * n + 1) for _ in range(n + 1)]

  # 初始化第一行
  for i in range(1, 7):
    dp[1][i] = 1 / 6

  # 填充动态规划表
  for i in range(2, n + 1):
    for j in range(i, 6 * i + 1):
      for k in range(1, 7):
        dp[i][j] += dp[i - 1][j - k] * 1 / 6

  # 计算概率
  probabilities = []
  for i in range(n, 6 * n + 1):
    probabilities.append(dp[n][i])

  return probabilities


if __name__ == "__main__":
  # 测试
  n = 2
  probabilities = dices_sum(n)
  print(probabilities)