掌握范围求和算法：轻松解决矩阵更新难题

前端

2023-12-25 11:27:07

前言

在数据处理和编程领域，矩阵是一个常用的数据结构，它由一系列有序排列的元素组成。在某些场景下，我们需要对矩阵中的元素进行更新操作，并基于更新后的矩阵进行进一步的计算。为了高效地解决这类问题，范围求和算法应运而生。

范围求和算法简介

范围求和算法是一种用于处理矩阵更新和查询的技术。它的核心思想是通过构建一个辅助数据结构，将矩阵中指定范围内的元素和快速计算出来。这样，我们就可以在 O(1) 的时间复杂度内进行范围求和操作，而无需遍历矩阵中的所有元素。

算法原理

范围求和算法的工作原理如下：

构建差分矩阵： 创建一个与原始矩阵大小相同的差分矩阵，其元素表示原始矩阵中对应元素与前一个元素的差值。
计算前缀和矩阵： 对差分矩阵进行前缀和计算，得到前缀和矩阵，其中每个元素表示从矩阵左上角到该元素的差值和。
范围求和： 为了计算矩阵中指定范围的元素和，我们可以使用前缀和矩阵。具体来说，求出该范围左上角和右下角的前缀和之差，即可得到范围内的元素和。

算法实现

以下代码示例演示了如何使用范围求和算法计算矩阵中指定范围的元素和：

def range_sum_query(matrix, x1, y1, x2, y2):
    """
    计算矩阵中指定范围的元素和

    参数：
        matrix：原始矩阵
        x1, y1：范围左上角坐标
        x2, y2：范围右下角坐标

    返回：
        指定范围内的元素和
    """

    # 构建差分矩阵
    diff = [[0] * len(matrix[0]) for _ in range(len(matrix))]
    for i in range(len(matrix)):
        for j in range(len(matrix[0])):
            if i > 0:
                diff[i][j] += matrix[i][j] - matrix[i - 1][j]
            if j > 0:
                diff[i][j] += matrix[i][j] - matrix[i][j - 1]
            if i > 0 and j > 0:
                diff[i][j] -= matrix[i - 1][j - 1]

    # 计算前缀和矩阵
    prefix = [[0] * len(matrix[0]) for _ in range(len(matrix))]
    for i in range(len(matrix)):
        for j in range(len(matrix[0])):
            if i > 0:
                prefix[i][j] += prefix[i - 1][j]
            if j > 0:
                prefix[i][j] += prefix[i][j - 1]
            prefix[i][j] += diff[i][j]

    # 计算范围和
    return prefix[x2][y2] - prefix[x1 - 1][y2] - prefix[x2][y1 - 1] + prefix[x1 - 1][y1 - 1]