均值分割：二分搜索中的二进制枚举应用

问题

给你一个整数数组 nums，我们希望将它分为两部分，使得两部分的和相等。返回一个分割索引，使得两部分的和相等。如果不存在这样的索引，返回 -1。

示例 1：

输入：nums = [1, 7, 3, 6, 5, 6]
输出：3
解释：将数组分割为[1, 7, 3]和[6, 5, 6]，两部分的和均为12。

示例 2：

输入：nums = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：-1
解释：数组无法分为两部分，使得两部分的和相等。

提示：

• 1 <= nums.length <= 10^5
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4

算法思想

解决这个问题的一种方法是使用「折半搜索」算法和「二进制枚举」算法。

「折半搜索」算法是一种经典的搜索算法，它通过将数组分为两部分，然后分别在两部分中搜索目标元素，从而减少搜索范围。在我们的问题中，我们可以使用「折半搜索」算法来找到一个分割索引，使得数组的两部分的和相等。

「二进制枚举」算法是一种枚举算法，它通过将问题分解成多个子问题，然后依次解决这些子问题，从而解决问题。在我们的问题中，我们可以使用「二进制枚举」算法来枚举所有可能的分割索引，然后判断是否存在一个分割索引使得数组的两部分的和相等。

算法实现

def split_array(nums):
    """
    将数组分割为两部分，使得两部分的和相等。

    Args:
    nums: 一个整数数组。

    Returns:
    一个分割索引，使得两部分的和相等。如果不存在这样的索引，返回-1。
    """

    # 计算数组的总和
    total_sum = sum(nums)

    # 如果总和是奇数，则不存在这样的分割索引
    if total_sum % 2 == 1:
        return -1

    # 计算目标和
    target_sum = total_sum // 2

    # 使用哈希表存储前缀和
    prefix_sums = {}
    prefix_sums[0] = 0

    # 计算前缀和
    for i in range(len(nums)):
        prefix_sums[i + 1] = prefix_sums[i] + nums[i]

    # 使用二进制枚举枚举所有可能的分割索引
    for i in range(1, len(nums)):
        # 计算左部分的和
        left_sum = prefix_sums[i]

        # 计算右部分的和
        right_sum = target_sum - left_sum

        # 如果右部分的和存在于哈希表中，则说明找到了一个分割索引
        if right_sum in prefix_sums:
            return i

    # 如果没有找到分割索引，则返回-1
    return -1

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n log n)，其中 n 是数组的长度。
• 空间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度。

总结

在这篇文章中，我们介绍了如何使用「折半搜索」和「二进制枚举」算法来解决「805. 数组的均值分割」这道难题。我们从问题开始，逐步解析算法的思想和实现细节，并提供代码示例和复杂度分析。通过这篇文章，您将掌握如何巧妙地结合这两种算法来解决复杂的问题。