打家劫舍：面对挑战，如何智取最大收益？

一览动态规划：巧用状态与决策

动态规划是一门强大的算法设计技术，尤其擅长解决涉及最优决策的复杂问题。它将问题分解成若干个子问题，再逐步构建子问题的最优解，最终求出整个问题的最优解。打家劫舍问题非常适合用动态规划来解决。

二探最优决策：从子问题到整体

让我们从子问题入手，逐步构建最优解。首先，考虑如下两个子问题：

1. 当你到达第n间房屋时，你应该选择打劫它还是不打劫它？
2. 如果你选择打劫第n间房屋，那么你将获得多少收益？

为了解决子问题1，我们需要引入一个状态数组dp[n]，其中dp[n]表示在你到达第n间房屋时，你所能获得的最大收益。这个状态数组可以通过以下递归关系来更新：

dp[n] = max(dp[n-1], dp[n-2] + nums[n])

这意味着，在你到达第n间房屋时，你面临两种选择：

1. 不打劫第n间房屋，在这种情况下，你的收益就是dp[n-1]。
2. 打劫第n间房屋，在这种情况下，你的收益是dp[n-2]加上第n间房屋的收益nums[n]。

通过比较这两种选择，你可以做出最佳决策。

三解整体问题：打劫还是放过？

有了子问题的最优解，我们就可以轻松求出整个问题的最优解。只需计算dp[n]的最大值，它就代表了你所能获得的最大收益。

四述算法流程：一步一步，智取收益

现在，让我们总结一下算法的具体流程：

1. 初始化状态数组dp[n]，其中dp[0] = 0，dp[1] = nums[1]。
2. 从i = 2开始，依次计算dp[i]。
3. 在计算dp[i]时，使用递归关系dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + nums[i])来更新状态数组。
4. 计算完dp[i]后，将dp[i]与dp[i-1]进行比较，取较大值作为dp[i]。
5. 重复步骤2-4，直到计算完dp[n]。
6. 返回dp[n]，它就代表了你所能获得的最大收益。

五写代码实现：编程解题，一试身手

以下是打家劫舍问题的C++代码实现：

int rob(vector<int>& nums) {
  int n = nums.size();
  if (n == 0) {
    return 0;
  }
  vector<int> dp(n + 1, 0);
  dp[1] = nums[0];
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i - 1]);
  }
  return dp[n];
}

六启发与反思：进阶之道，触类旁通

1. 动态规划是一种强大的算法设计技术，它可以解决各种涉及最优决策的问题。打家劫舍问题只是动态规划众多应用场景中的一个。
2. 在解决动态规划问题时，关键是要找出状态和决策。状态表示问题中关键信息的集合，而决策表示在给定状态下你可以采取的行动。
3. 动态规划是一种自底向上的算法设计方法。它从子问题的最优解开始，逐步构建整个问题的最优解。
4. 打家劫舍问题可以有多种不同的解决方法。除了动态规划，你还可以使用贪心算法或回溯算法来解决。

希望这篇文章对你有帮助。如果您有任何问题，请随时留言。