LeetCode 902：采用记忆化 DFS 方法破解 Numbers At Most N Given Digit Set (Python)

问题概述：

LeetCode 902. Numbers At Most N Given Digit Set 问题如下：

给定一个正整数 n 和一个数字集合 digits，要求你计算出小于等于 n 的所有正整数中，有多少个正整数的数字全部来自数字集合 digits。

例如：

digits = [1,3,5,7]
n = 100

在这种情况下，小于等于 100 且数字全部来自集合 digits 的正整数有：

1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77

因此，最终结果为 20。

记忆化 DFS 方法解析：

为了解决这个问题，我们将采用记忆化 DFS 的方法。DFS（深度优先搜索）是一种广泛应用于计算机科学中的递归算法，它通过遍历节点的所有可能路径来搜索解空间，并在每次搜索时记录已访问过的节点。记忆化是将已经计算过的结果存储起来，以便下一次遇到相同参数时可以快速检索到之前计算过的结果，从而避免重复计算。结合 DFS 和记忆化，我们将能够高效地计算出小于等于 n 且数字全部来自集合 digits 的正整数的个数。

以下步骤概述了记忆化 DFS 的基本流程：

1. 定义一个函数 f(i, prev, used)，其中 i 表示当前处理的数字的索引，prev 表示前一个数字，used 表示当前已使用的数字集合。
2. 当 i 等于数字集合 digits 的长度时，如果 used 包含所有数字，则结果加一，否则返回零。
3. 否则，对于数字集合 digits 中的每个数字 d，如果 d 不等于 prev 并且 d 不在 used 中，则调用 f(i+1, d, used + {d})。
4. 将结果返回给调用者。

使用记忆化技术，我们将能够存储已经计算过的结果，避免重复计算。这将大大提高算法的效率，使其能够在合理的时间内求解问题。

Python 实现：

def num_of_numbers(n, digits):
    memo = {}

    def dfs(i, prev, used):
        if i == len(digits):
            if set(digits) == used:
                return 1
            else:
                return 0

        if (i, prev, tuple(used)) in memo:
            return memo[(i, prev, tuple(used))]

        result = 0
        for d in digits:
            if d != prev and d not in used:
                result += dfs(i + 1, d, used + {d})

        memo[(i, prev, tuple(used))] = result
        return result

    return dfs(0, -1, set())


if __name__ == "__main__":
    digits = [1, 3, 5, 7]
    n = 100
    result = num_of_numbers(n, digits)
    print(f"The number of numbers at most {n} with digits from {digits} is {result}")

结论：

我们已经成功地利用记忆化 DFS 方法解决了 LeetCode 902. Numbers At Most N Given Digit Set 问题。该方法通过将已经计算过的结果存储起来，避免重复计算，大大提高了算法的效率。Python 代码的实现也清晰明了，便于理解和修改。希望这篇博文能帮助读者更好地理解记忆化 DFS 方法，并将其应用到更多的算法问题中。