勘破逻辑迷雾：第K个语法符号的巧妙揭秘

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2023-09-14 05:17:10

在浩瀚的计算机科学领域，算法宛若一把利刃，劈开复杂问题的重重迷雾。今天，我们将聚焦于一道引人入胜的算法难题——第K个语法符号。

踏入逻辑的迷宫

问题抛出了一个看似简单的场景：我们有一行仅包含0和1的字符，每行都遵循着特定的生成规则：第一行写上一个0，而接下来的每一行，则将前一行中的0替换为01，1替换为10。

探索递归与动态规划

要找出第N行中的第K个字符，我们可以采取两种截然不同的方法：递归和动态规划。

递归：分解问题的艺术

递归是一种将问题分解为较小版本的经典算法策略。对于第K个语法符号问题，我们可以采用如下递归公式：

f(N, K) = {
    0, N = 1
    f(N - 1, K), K <= 2^(N - 1)
    f(N - 1, K - 2^(N - 1)), K > 2^(N - 1)
}

动态规划：逐层递进的智慧

动态规划则是一种自底向上的算法，它将问题分解为一系列重叠子问题，并逐层求解。对于第K个语法符号问题，我们可以构建一个二维表格dp：

dp[N][K] = {
    0, N = 1
    dp[N - 1][K], K <= 2^(N - 1)
    dp[N - 1][K - 2^(N - 1)], K > 2^(N - 1)
}

通过逐行逐列地填充dp表格，我们最终可以得到第N行中的第K个字符。

代码示例

以下是使用递归和动态规划解决第K个语法符号问题的Python代码示例：

# 递归
def kth_grammar(N, K):
    if N == 1:
        return 0
    if K <= 2**(N-1):
        return kth_grammar(N-1, K)
    else:
        return kth_grammar(N-1, K-2**(N-1))

# 动态规划
def kth_grammar_dp(N, K):
    dp = [[0]*(2**N) for _ in range(N+1)]
    dp[1][1] = 0
    for n in range(2, N+1):
        for k in range(1, 2**n):
            if k <= 2**(n-1):
                dp[n][k] = dp[n-1][k]
            else:
                dp[n][k] = dp[n-1][k-2**(n-1)]
    return dp[N][K]