用「模拟」和「约瑟夫环」找寻游戏胜者

    在「1823. 找出游戏的获胜者」问题中，有 $n$ 位小伙伴围成一圈玩游戏。游戏规则如下：
    
    1. 从第 $1$ 位小伙伴开始，顺时针报数。
    2. 报到第 $k$ 个数的小伙伴出局。
    3. 出局后，从下一位小伙伴继续报数，重复步骤 1 和 2。
    
    我们的目标是找到游戏中最后一个出局的小伙伴，也就是游戏的获胜者。
    
    ## 「模拟」方法
    
    「模拟」方法很简单，我们直接模拟游戏过程即可。
    
    ```python
    def find_the_winner(n, k):
        """
        :type n: int
        :type k: int
        :rtype: int
        """
        # 创建一个队列来存储小伙伴
        queue = list(range(1, n + 1))
        
        # 模拟游戏过程
        while len(queue) > 1:
            # 报数到第 k 个小伙伴出局
            for _ in range(k - 1):
                queue.append(queue.pop(0))
            queue.pop(0)
        
        # 返回最后一个出局的小伙伴
        return queue[0]
    ```
    
    ## 「约瑟夫环」方法
    
    「约瑟夫环」方法是一种数学方法，可以快速计算出游戏获胜者的位置。
    
    设 $f(n, k)$ 为 $n$ 个小伙伴中，报到第 $k$ 个数出局的小伙伴的位置。根据「约瑟夫环」公式，我们可以得到：
    
    ```
    f(n, k) = (f(n - 1, k) + k) % n
    ```
    
    其中：
    
    * $f(n - 1, k)$ 为 $n - 1$ 个小伙伴中，报到第 $k$ 个数出局的小伙伴的位置。
    * $k$ 为报数的间隔。
    * $n$ 为小伙伴的总数。
    
    我们可以使用此公式递归计算出 $f(n, k)$，从而找到游戏获胜者的位置。
    
    ```python
    def find_the_winner(n, k):
        """
        :type n: int
        :type k: int
        :rtype: int
        """
        # 递归出口
        if n == 1:
            return 1
        
        # 递归计算
        return (find_the_winner(n - 1, k) + k) % n + 1
    ```
    
    ## 总结
    
    「模拟」和「约瑟夫环」都是解决「1823. 找出游戏的获胜者」问题的有效方法。其中，「模拟」方法简单易懂，而「约瑟夫环」方法计算效率更高。