永恒之变——LeetCode二维区域和检索大揭秘

后端

2023-11-11 06:28:24

LeetCode——二维区域和检索——矩阵不可变

在浩瀚的算法世界中，LeetCode是一座引领程序员攀登高峰的灯塔。作为算法爱好者，你一定不会错过LeetCode的二维区域和检索——一个考验你算法思维和编码技巧的挑战。矩阵不可变的特性，赋予了这项任务别样的魅力。

在这个算法舞台上，你将成为一名勇敢的探索者，勇闯二维区域和检索的未知领域。你将用手中的代码笔，在方格阵的坐标之间纵横驰骋，揭开矩阵不可变的秘密。快来，和我们一起踏上这段奇妙的旅程吧！

深入理解二维区域和检索

LeetCode的二维区域和检索，本质上是一个矩阵查询问题。它要求你计算一个矩阵的子矩阵中元素的总和。其中，子矩阵的左上角坐标为(row1,col1)，右下角坐标为(row2,col2)。

为了高效解决这个问题，你需要掌握前缀和和动态规划两种算法。前缀和可以帮助你快速计算子矩阵的元素总和，而动态规划可以让你避免重复计算，大大提高算法的效率。

矩阵不可变的奥秘

矩阵不可变意味着你无法修改矩阵中的元素。这给算法的实现带来了不小的挑战。你需要在不改变矩阵内容的前提下，计算出子矩阵的元素总和。

前缀和和动态规划算法的结合，为你提供了破解矩阵不可变难题的钥匙。前缀和可以让你快速计算子矩阵的元素总和，而动态规划可以让你避免重复计算，大大提高算法的效率。

前缀和——快速计算子矩阵元素总和

前缀和是一种数据结构，它存储了矩阵中每个元素到原点的元素总和。有了前缀和，你就可以快速计算子矩阵的元素总和。

前缀和的计算方法很简单。对于矩阵中的每个元素a[i][j]，其前缀和为：

prefixSum[i][j] = prefixSum[i-1][j] + prefixSum[i][j-1] - prefixSum[i-1][j-1] + a[i][j]

其中，prefixSum[i][j]表示矩阵中从原点到元素a[i][j]的元素总和。

动态规划——避免重复计算

动态规划是一种算法设计范式，它可以让你避免重复计算。在二维区域和检索问题中，你可以使用动态规划来避免重复计算子矩阵的元素总和。

动态规划的具体实现方法是：

将矩阵划分为多个子矩阵。
计算每个子矩阵的元素总和，并将其存储在动态规划表中。
当需要计算某个子矩阵的元素总和时，直接从动态规划表中查找即可。

这样，你就可以避免重复计算子矩阵的元素总和，大大提高算法的效率。

LeetCode题目的示例

LeetCode上有很多与二维区域和检索相关的题目。下面，我们以一道典型的题目为例，来讲解如何使用前缀和和动态规划算法来解决这个问题。

题目：给定一个矩阵 matrix，请计算其子矩阵范围内元素的总和，该子矩阵的左上角为 (row1,col1)，右下角为 (row2,col2)。

思路：

使用前缀和计算矩阵中每个元素到原点的元素总和。
使用动态规划计算每个子矩阵的元素总和，并将其存储在动态规划表中。
当需要计算某个子矩阵的元素总和时，直接从动态规划表中查找即可。

代码：

public class NumMatrix {

    private int[][] prefixSum;

    public NumMatrix(int[][] matrix) {
        int m = matrix.length;
        int n = matrix[0].length;
        prefixSum = new int[m + 1][n + 1];

        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                prefixSum[i][j] = prefixSum[i - 1][j] + prefixSum[i][j - 1] - prefixSum[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1];
            }
        }
    }

    public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
        return prefixSum[row2 + 1][col2 + 1] - prefixSum[row1][col2 + 1] - prefixSum[row2 + 1][col1] + prefixSum[row1][col1];
    }
}