除自身外的数组乘积，化繁为简的解法

2023-11-29 04:59:41

在算法领域，我们经常会遇到一些看似复杂但又暗藏简便之道的难题。今天，我们将探讨一个经典问题：除自身外的数组乘积 。

问题定义

给定一个长度为 n 的整数数组 nums（其中 n > 1），求输出数组 output，其中 output[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外的其余各元素的乘积。

例如，对于数组 [1, 2, 3, 4]，output 为 [12, 6, 4, 3]。

朴素解法

最直接的解法是逐个计算每个元素的乘积。时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

def product_except_self_brute(nums):
  output = [1] * len(nums)
  for i in range(len(nums)):
    for j in range(len(nums)):
      if i != j:
        output[i] *= nums[j]
  return output

利用前缀和后缀乘积

一种更有效的方法是利用前缀乘积和后缀乘积。

前缀乘积：对于元素 nums[i]，其前缀乘积为 [nums[0], nums[1], ..., nums[i-1]] 的乘积。
后缀乘积：对于元素 nums[i]，其后缀乘积为 [nums[i+1], nums[i+2], ..., nums[n-1]] 的乘积。

利用这些乘积，我们可以通过以下公式计算 output[i]：

output[i] = (前缀乘积[i-1] * 后缀乘积[i+1]) / nums[i]

算法步骤：

初始化前缀乘积和后缀乘积数组。
遍历数组，计算每个元素的前缀乘积。
从后往前遍历数组，计算每个元素的后缀乘积。
根据公式计算 output[i]。

代码实现：

def product_except_self_prefix_suffix(nums):
  prefix = [1] * len(nums)
  suffix = [1] * len(nums)
  output = [1] * len(nums)
  
  # 计算前缀乘积
  for i in range(1, len(nums)):
    prefix[i] = prefix[i-1] * nums[i-1]
  
  # 计算后缀乘积
  for i in range(len(nums)-2, -1, -1):
    suffix[i] = suffix[i+1] * nums[i+1]
  
  # 计算输出
  for i in range(len(nums)):
    output[i] = prefix[i-1] * suffix[i+1]
  
  return output

优化空间复杂度

上述算法的空间复杂度为 O(n)，我们可以进一步优化为 O(1)。

算法步骤：

初始化变量 prefix 为 1，表示前缀乘积。
遍历数组，计算每个元素 nums[i] 的前缀乘积，并将其存储在 prefix 中。
初始化变量 suffix 为 1，表示后缀乘积。
从后往前遍历数组，计算每个元素 nums[i] 的后缀乘积，并将其存储在 suffix 中。
根据公式计算 output[i]。

代码实现：

def product_except_self_optimized(nums):
  output = [1] * len(nums)
  prefix = 1
  
  # 计算前缀乘积
  for i in range(len(nums)):
    output[i] = prefix
    prefix *= nums[i]
  
  # 计算后缀乘积
  suffix = 1
  for i in range(len(nums)-1, -1, -1):
    output[i] *= suffix
    suffix *= nums[i]
  
  return output