机器学习入门：从线性回归开始

重启机器学习基础—线性回归（1）：矩阵视角

绪论

机器学习是一个令人着迷的领域，它使计算机能够从数据中学习并做出预测。而线性回归，作为机器学习的基础模型之一，在理解更复杂的概念之前，对于掌握这一领域至关重要。在本文中，我们将深入探讨线性回归，从矩阵的角度审视最小二乘法，为您的机器学习之旅奠定坚实的基础。

什么是线性回归？

线性回归是一种监督学习模型，它试图拟合一个线性函数到一组给定的数据点。这个函数可以用来预测因变量（目标变量）的值，基于自变量（特征）的值。线性回归模型的方程为：

y = mx + c

其中，y 是因变量，x 是自变量，m 是斜率，c 是截距。

最小二乘法

最小二乘法是一种优化技术，用于估计线性回归模型的参数（m 和 c），使得预测值与实际值之间的平方误差和最小化。从数学的角度来看，最小二乘法的目标函数为：

SSE = Σ(yi - (mxi + c))^2

其中，yi 是因变量的实际值，(mxi + c) 是预测值，Σ 表示求和。

矩阵形式的最小二乘法

通过矩阵形式表示最小二乘法，我们可以更全面地理解这个概念。假设我们有 n 个数据点，每个数据点包含一个自变量值和一个因变量值。我们可以将这些数据组织成一个 n x 2 的矩阵 X，其中每一行对应一个数据点：

X = [x1, x2, ..., xn]

我们还将因变量值组织成一个 n x 1 的向量 y：

y = [y1, y2, ..., yn]

线性回归模型的参数 m 和 c 可以表示为一个 2 x 1 的向量 θ：

θ = [m, c]

使用矩阵表示，最小二乘法目标函数变为：

SSE = (Xθ - y)T(Xθ - y)

其中，T 表示转置运算。

要找到最小化 SSE 的 θ 值，我们可以求解梯度为零的方程：

∇SSE/∇θ = 2XTXθ - 2XTy = 0

求解这个方程，我们得到 θ 的最优值：

θ = (XTX)-1XTy

通过实例理解

为了更好地理解矩阵形式的最小二乘法，让我们考虑一个简单的例子。假设我们有一个数据集，其中自变量为房屋面积，因变量为房屋价格。

面积（平方英尺）	价格（美元）
1200	200,000
1400	240,000
1600	280,000

我们可以将这些数据表示为矩阵 X 和向量 y：

X = [1200, 1400, 1600]
y = [200000, 240000, 280000]

使用矩阵形式的最小二乘法，我们可以求出 θ 的最优值：

θ = (XTX)-1XTy = [0.1, 100000]

这表明线性回归模型为：

价格 = 0.1 * 面积 + 100000

这个模型可以用来预测给定面积的房屋价格。

总结

线性回归是机器学习的基本模型之一，它通过拟合线性函数到数据点来建立自变量和因变量之间的关系。通过矩阵视角理解最小二乘法，我们可以更深入地了解如何估计模型参数，从而优化预测精度。无论是初次涉足机器学习还是希望巩固基础知识，矩阵形式的线性回归都是一个必不可少的概念，为后续学习更复杂的模型奠定了坚实的基础。