动态规划阵列优化之二维到一维转换深入探秘

2023-08-29 20:36:08

二维到一维动态数组：动态规划的降维妙招

简介

动态规划是一种解决复杂优化问题的强大算法技术。它通过将问题分解为较小的子问题，并逐步求解这些子问题来找到最优解。虽然动态规划通常使用二维动态数组来存储子问题的解，但这在某些情况下会带来空间开销问题。本文将探讨如何通过优化将二维动态数组简化为一维动态数组，从而降低空间复杂度并提高算法效率。

二维动态数组

二维动态数组通常采用表格的形式来存储子问题的解。以 LeetCode 的 322. 零钱兑换问题为例，我们可以使用一个二维动态数组来存储不同硬币组合与不同目标金额之间的关系。通过逐行逐列计算，最终可以得到最优解。

一维动态数组优化

对于某些特定问题，可以通过利用动态规划的性质来将二维动态数组优化为一维动态数组。在动态规划中，子问题的解通常具有递推关系。利用这种关系，我们可以只存储前一个子问题的解，从而将二维动态数组简化为一维动态数组。

代码实现

为了更好地理解二维动态数组到一维动态数组的优化过程，我们以 LeetCode 的 322. 零钱兑换问题为例，给出了二维动态数组和一维动态数组两种解法的代码实现：

二维动态数组解法：

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int[][] dp = new int[coins.length + 1][amount + 1];
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            dp[0][i] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        for (int i = 1; i <= coins.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= amount; j++) {
                if (j >= coins[i - 1]) {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], 1 + dp[i][j - coins[i - 1]]);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[coins.length][amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[coins.length][amount];
    }
}

一维动态数组优化：

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int[] dp = new int[amount + 1];
        Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            for (int coin : coins) {
                if (i >= coin) {
                    if (dp[i - coin] != Integer.MAX_VALUE) {
                        dp[i] = Math.min(dp[i], 1 + dp[i - coin]);
                    }
                }
            }
        }
        return dp[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[amount];
    }
}