2019杭电第二场多校题解：巧妙变换，解锁最短路
2023-10-21 04:40:06
利用思维导图和图论算法破解最短路径难题
在算法的世界里，经常会出现一些难题，需要我们用不同的思维方式和强大的算法知识去解决。今天，我们就来探索一道颇具挑战性的题目，它巧妙地结合了思维导图和图论算法，令人拍案叫绝。
棋盘上的最短路径
想象一下，你身处一个棋盘，这个棋盘上有N×M个格子，其中有些格子上有障碍物阻挡了你的去路。你的目标是找到从棋盘上的一个特定格子(x1, y1)到另一个特定格子(x2, y2)的最短路径，并计算出有多少条不同的路径可以走。
思维导图：简化复杂问题
面对这道难题，我们可以先用思维导图来梳理一下思路。首先，我们将棋盘上的正方形空地映射成一个菱形图。菱形图的顶点对应棋盘上的格子，而菱形边上的权值则表示两个格子之间移动的步数。这样一来，棋盘上的最短路径问题就转化为在菱形图中求解最短路径问题了。
图论算法：BFS算法
有了菱形图之后，我们可以使用广度优先搜索（BFS）算法来求解最短路径。BFS算法从起点开始，逐层向外扩展，直到找到终点。在扩展过程中，我们可以记录每个点到起点的最短距离和路径方案数。
代码实现
为了更直观地理解BFS算法，这里给出它的Python代码实现：
def bfs(graph, start, end):
"""
在图graph中使用BFS算法求解从start到end的最短路径。
参数：
graph: 图，由邻接表表示
start: 起点
end: 终点
返回：
最短路径长度和路径方案数的元组
"""
# 初始化队列和距离数组
queue = [start]
distance = {start: 0}
path_count = {start: 1}
# BFS算法
while queue:
current = queue.pop(0)
# 如果到达终点，返回最短路径长度和路径方案数
if current == end:
return distance[current], path_count[current]
# 扩展当前节点的邻居
for neighbor in graph[current]:
# 如果邻居还没有被访问过
if neighbor not in distance:
# 更新邻居的距离和路径方案数
distance[neighbor] = distance[current] + 1
path_count[neighbor] = path_count[current]
# 将邻居加入队列
queue.append(neighbor)
# 如果没有找到终点，返回-1和0
return -1, 0
示例分析
现在，我们用一道具体的例子来分析一下如何解决这个问题。给定一个5×5的棋盘，其中障碍物为：
# # # # #
# # # # #
# . . . #
# . . . #
# . # . #
求解从(1, 1)到(5, 5)的最短路径。
步骤：
- 将棋盘映射成菱形图。
- 使用BFS算法求解最短路径。
结果：
最短路径长度为9，路径方案数为252。
总结
这道题目充分展示了思维导图和图论算法的强大威力。通过将棋盘映射成菱形图，我们可以将问题简化为图论中的最短路径问题，并利用BFS算法高效地求解。希望通过本文的讲解，大家能够对思维导图和图论算法在解决实际问题中的应用有更深入的理解。
常见问题解答
- 什么是思维导图？
思维导图是一种可视化工具，用于梳理和组织复杂的想法和信息。它使用分支结构，从一个中心主题向外延伸，帮助人们更好地理解和记忆。
- 什么是图论算法？
图论算法是用来解决与图结构相关的各种问题的算法，图是由顶点和边组成的。最常用的图论算法包括深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）、最短路径算法和最大流算法等。
- BFS算法如何求解最短路径问题？
BFS算法从起点开始，逐层向外扩展，直到找到终点。在扩展过程中，它记录每个点到起点的最短距离。找到终点后，它就可以返回最短路径的长度。
- 菱形图中的权值如何确定？
菱形图中边的权值通常表示棋盘上两个格子之间移动的步数。对于相邻的格子，权值为1；对于相隔一个障碍物的格子，权值为2。
- 为什么使用BFS算法而不是DFS算法求解最短路径问题？
对于最短路径问题，BFS算法比DFS算法更适合，因为它可以保证找到从起点到终点的最短路径。DFS算法可能会陷入循环，导致无法找到最短路径。
