数据结构-单调队列优化之队列的最大值

2023-09-01 21:22:29

队列回顾
一个队列，又名先进先出队列，是一种遵循先进先出（FIFO）原则的数据结构。队列中的元素按照它们进入队列的顺序排列。元素只能从队列的头部（front）进入，并且只能从队列的尾部（rear）移除。队列的典型操作包括：

enqueue(item)：将新元素添加到队列的尾部。
dequeue()：从队列的头部删除并返回元素。
size()：返回队列中元素的数量。
isEmpty()：检查队列是否为空。
peek()：返回队列的头部元素，但不删除它。

队列通常用数组或链表实现。数组实现简单，但可能需要进行昂贵的重新分配操作来处理队列的增长和收缩。链表实现更灵活，但它的性能可能不如数组实现好。

单调队列简介

单调队列是一种特殊的队列，它满足单调性条件，即队列中的元素按某种顺序排列（升序或降序）。单调队列通常用于解决各种数据结构问题，例如求滑动窗口的最大值、最小值等。

如何实现单调队列？

一种简单的方法是使用两个队列来模拟单调队列。一个队列用于存储元素，另一个队列用于存储最大值（或最小值）。当一个新元素进入单调队列时，它被添加到存储元素的队列中。同时，如果新元素比存储最大值（或最小值）的队列中的最大值（或最小值）更大（或更小），则它也被添加到存储最大值（或最小值）的队列中。

当从单调队列中删除一个元素时，它从存储元素的队列中删除。同时，如果被删除的元素是存储最大值（或最小值）的队列中的最大值（或最小值），则它也被从存储最大值（或最小值）的队列中删除。

单调队列的时间复杂度

单调队列的均摊时间复杂度为O(1)。这是因为，在最坏的情况下，单调队列的操作需要O(n)的时间，其中n是队列中的元素数量。然而，在大多数情况下，单调队列的操作只需要O(1)的时间。

用单调队列优化队列的最大值

我们现在来看一个经典的问题：队列的最大值 。

问题

给定一个整数数组nums和一个窗口大小k，您需要找到 nums 所有连续子数组的最大值。

例如，对于 nums = [1, 3, -1, -3, 5, 3, 6, 7] 和 k = 3，您需要找到所有长度为 3 的连续子数组的最大值。结果是 [3, 3, 5, 5, 6, 7]。

解题思路：

这个问题可以用单调队列来优化。具体步骤如下：

初始化一个单调队列，并将第一个窗口中的元素加入队列中。
从第二个窗口开始，对于每个窗口：
- 将当前窗口的右边界元素加入队列中。
- 如果队列的头部元素不是当前窗口的左边界元素，则将队列的头部元素弹出。
- 将队列的头部元素作为当前窗口的最大值。
将所有窗口的最大值输出。

算法复杂度：

该算法的时间复杂度为O(n)，其中n是nums数组的长度。这是因为，每个元素最多被加入和弹出队列一次。

Python代码实现：

def maxSlidingWindow(nums, k):
    """
    :type nums: List[int]
    :type k: int
    :rtype: List[int]
    """
    if not nums or k <= 0 or len(nums) < k:
        return []

    # 初始化单调队列和结果列表
    queue = []
    result = []

    # 将第一个窗口中的元素加入队列中
    for i in range(k):
        while queue and nums[i] > nums[queue[-1]]:
            queue.pop()
        queue.append(i)

    # 从第二个窗口开始，对每个窗口进行处理
    for i in range(k, len(nums)):
        # 将当前窗口的右边界元素加入队列中
        while queue and nums[i] > nums[queue[-1]]:
            queue.pop()
        queue.append(i)

        # 如果队列的头部元素不是当前窗口的左边界元素，则将队列的头部元素弹出
        if queue[0] <= i - k:
            queue.pop(0)

        # 将队列的头部元素作为当前窗口的最大值
        result.append(nums[queue[0]])

    return result