一举两得，用数学优雅地计算合唱队形及最长上升子序列的个数

闲谈

2024-02-10 15:42:47

从合唱队形到最长上升子序列

合唱队形的本质是将身高不同的同学按从矮到高的顺序排列，以满足合唱队形的要求。巧合的是，最长上升子序列也是基于同样的原则——找到一个最长的子序列，使序列中的每个元素都大于前一个元素。

实际上，合唱队形和最长上升子序列之间存在着紧密的联系。如果我们将合唱队形中的同学身高看作一个序列，那么合唱队形就等同于找到这个序列中最长上升子序列的个数。

动态规划的艺术

为了解决合唱队形问题，我们需要引入一个强大的算法——动态规划。动态规划是一种通过将问题分解成较小的子问题，然后逐步解决这些子问题来解决复杂问题的算法。

对于合唱队形问题，我们可以将问题分解成以下子问题：

对于一个给定的身高序列，最长上升子序列的个数是多少？
如果我们将序列中的最后一个元素删除，那么剩下的序列最长上升子序列的个数是多少？

通过不断地解决这些子问题，我们可以最终得到整个序列的最长上升子序列的个数。

数学公式的魅力

合唱队形问题的数学公式如下：

dp[i] = max(dp[j] + 1) for all j < i such that height[j] < height[i]

其中，

dp[i]表示序列中前i个元素的最长上升子序列的个数
height[i]表示第i个元素的身高

这个公式的含义是，对于序列中的每个元素i，我们找到所有身高比i矮的元素j，并将dp[i]设置为dp[j] + 1的最大值。这样，我们就可以确保dp[i]是序列中前i个元素的最长上升子序列的个数。

优雅的代码实现

def longest_increasing_subsequence(height):
  """
  计算最长上升子序列的个数

  Args:
    height: 身高序列

  Returns:
    最长上升子序列的个数
  """

  n = len(height)
  dp = [1] * n

  for i in range(1, n):
    for j in range(i):
      if height[j] < height[i]:
        dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

  return max(dp)