343. 整数拆分：洞察数字规律，掌握动态规划技巧

后端

2024-01-01 01:57:04

动态规划：巧解难题的艺术

拆分烦恼的智慧

想象一下你手头有一堆1块钱的钞票，而你的任务是把它们组合成尽可能多的整数。乍一看，这似乎很简单，但它恰恰是动态规划问题的一个典型案例。

动态规划是一种解决复杂问题的强大工具。它将问题分解成更小的子问题，然后逐步求解这些子问题，最终拼凑出问题的整体解。

贪心探索的局限

在整数拆分问题中，我们可以把问题分解成更小的子问题：给定一个整数 n，如何将其分解成两个或多个整数，使得它们的乘积最大？

直觉告诉我们，贪心算法可能是个不错的选择。贪心算法总是选择当前最优的局部解，期望它最终能得到全局最优解。

在这个问题中，贪心算法是这样运作的：每次从 n 中减去尽可能大的整数，直到无法再减。例如，对于 n=100，我们可以先减去 99，然后减去 1，最后剩下 0。

虽然贪心算法简单易懂，但在某些情况下却无法得到全局最优解。比如对于 n=5，贪心算法会得到 2×3=6，而全局最优解是 3×3=9。

规律探寻的突破

要得到全局最优解，我们需要深入问题本身，寻找隐藏的规律。

对于整数拆分问题，规律是这样的：当 n 大于 4 时，将 n 分解成两个尽可能大的整数，然后将这两个整数相乘，得到的结果总是大于原先的 n。

例如，对于 n=6，可以分解成 3×3=9，而原先的 6 只有 6。对于 n=7，可以分解成 3×4=12，而原先的 7 只有 7。

因此，对于 n 大于 4 的情况，贪心算法可以得到全局最优解。

算法实现：拆解与递归

基于这个规律，我们可以实现一个动态规划算法来解决整数拆分问题。

算法的思路是：将 n 分解成两个尽可能大的整数，然后将这两个整数相乘，得到的结果与原先的 n 比较，取较大者。如果分解出来的两个整数都大于 1，则继续对这两个整数重复上述步骤，直到无法再分解。

算法的实现可以使用递归或迭代的方法。这里给出了使用递归的方法实现的算法：

def integer_break(n):
    if n <= 2:
        return n
    if n % 2 == 0:
        return integer_break(n // 2) * integer_break(n // 2)
    else:
        return integer_break(n - 3) * 3

print(integer_break(10))  # 输出：36
print(integer_break(5))  # 输出：6