透过算法和前端视角，深入了解01背包问题

2024-01-22 00:17:33

我们日常生活中有很多类比的动态规划问题，比如“怎样用有限的资源尽可能装满整个背包”这一类的问题。这类问题虽然我们在生活中不会经常碰到，但是在很多工业生产、商业流程中频繁出现。为解决这类问题所采用的算法就称为背包算法。

01背包问题简述

01背包问题的本质是：用有限的背包容量装入尽可能多的物品，要求物品不能放入超过一次。通过以上的，相信大家对01背包问题已经有了初步的了解。那么如何用程序来表示一个01背包问题呢？

假设我们有一个物品数组items，其中每一个物品都有两个属性：价值value和重量weight。
背包的容量为capacity。

那么01背包问题就可以表示为：

最大化 Σ value[i]

其中，i是物品的索引，value[i]是物品i的价值，weight[i]是物品i的重量。

01背包问题的动态规划解法

01背包问题的动态规划解法是基于一个状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i])

其中，dp[i][j]表示容量为j的背包中，前i个物品能够获得的最大价值。
dp[i-1][j]表示容量为j的背包中，前i-1个物品能够获得的最大价值。
dp[i-1][j-weight[i]]表示容量为j-weight[i]的背包中，前i-1个物品能够获得的最大价值。
value[i]是物品i的价值。
weight[i]是物品i的重量。

01背包问题的实现

这里将用Python实现01背包问题。

def knapsack(items, capacity):
  """
  求解01背包问题。

  Args:
    items: 物品数组。
    capacity: 背包容量。

  Returns:
    最大价值。
  """

  # 创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示容量为j的背包中，前i个物品能够获得的最大价值。
  dp = [[0 for _ in range(capacity + 1)] for _ in range(len(items) + 1)]

  # 遍历物品。
  for i in range(1, len(items) + 1):
    # 遍历背包容量。
    for j in range(1, capacity + 1):
      # 如果物品i的重量小于或等于背包的剩余容量。
      if items[i-1][1] <= j:
        # 将物品i放入背包，并计算最大价值。
        dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - items[i-1][1]] + items[i-1][0])
      # 否则，不将物品i放入背包。
      else:
        # 将物品i放入背包，并计算最大价值。
        dp[i][j] = dp[i-1][j]

  # 返回最大价值。
  return dp[len(items)][capacity]


# 测试代码。
items = [[1, 2], [4, 3], [5, 6], [6, 7]]
capacity = 10
print(knapsack(items, capacity))