回文之美：最少插入次数之解

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2023-11-26 09:36:01

回文的魅力：定义与应用

回文串，是指正读反读都一样的字符串，在现实生活中有着广泛的应用，例如回文诗、回文谜语和回文标识等。在计算机科学中，回文串也扮演着重要的角色，例如回文哈希和回文树等算法和数据结构。

问题解析：构造回文的最小插入次数

给定一个字符串 s，我们希望将 s 变成回文串，并计算最少需要进行的插入次数。为了更好地理解问题，我们可以考虑几个示例：

输入：s = "abcea"，输出：2。解释：我们可以给 s 插入两个字符 "c" 和 "d"，使其变成回文串 "abccba"。
输入：s = "leetcode"，输出：5。解释：我们可以给 s 插入五个字符 "r", "d", "d", "r" 和 "e"，使其变成回文串 "leerddeele"。
输入：s = "abba"，输出：0。解释：s 已经是回文串，因此无需进行任何插入。

算法分析：动态规划法与中心扩展法

为了解决构造回文的最小插入次数问题，我们可以使用两种经典的算法——动态规划法和中心扩展法。

动态规划法

动态规划法是一种求解最优化问题的经典算法，其思想是将问题分解成一系列子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到问题的最优解。在构造回文的最小插入次数问题中，我们可以定义子问题 dp[i][j]，表示将字符串 s[i:j] 变成回文串所需的最小插入次数。我们可以使用以下递归关系式来求解子问题：

dp[i][j] = 
    if i >= j:
        0
    elif s[i] == s[j]:
        dp[i+1][j-1]
    else:
        min(dp[i+1][j], dp[i][j-1]) + 1

中心扩展法

中心扩展法是一种求解回文串问题的经典算法，其思想是选择字符串中的每个字符或字符对作为回文串的中心，并向两边扩展，直到找到回文串的边界。在构造回文的最小插入次数问题中，我们可以使用中心扩展法来求解子问题 dp[i][j]，表示将字符串 s[i:j] 变成回文串所需的最小插入次数。我们可以使用以下步骤来求解子问题：

选择字符串中的每个字符或字符对作为回文串的中心。
向两边扩展，直到找到回文串的边界。
计算扩展出的回文串的长度。
计算将 s[i:j] 变成回文串所需的最小插入次数，即 j - i - 回文串长度 + 1。

代码实现：清晰示例与分析

为了更好地理解算法的原理和应用，我们可以提供清晰的代码示例。以下是动态规划法的 Python 实现：

def min_insertions(s):
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]

    for i in range(n - 1, -1, -1):
        dp[i][i] = 0
        for j in range(i + 1, n):
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1

    return dp[0][n - 1]

以下是中心扩展法的 Python 实现：

def min_insertions(s):
    n = len(s)
    min_insertions = n

    for i in range(n):
        # 中心扩展法查找奇数长度回文串
        left, right = i, i
        while left >= 0 and right < n and s[left] == s[right]:
            min_insertions = min(min_insertions, i - left + n - right - 1)
            left -= 1
            right += 1

        # 中心扩展法查找偶数长度回文串
        left, right = i, i + 1
        while left >= 0 and right < n and s[left] == s[right]:
            min_insertions = min(min_insertions, i - left + n - right - 1)
            left -= 1
            right += 1

    return min_insertions