用动态规划实现智胜难题

2024-01-28 12:47:49

算法和动态规划，就像一把锋利的宝剑，可以劈开编程难题的迷雾。尤其是在动态规划面前，那些看似复杂的难题，往往也会变得简单明了。今天，我们就来一起探索一道令人着迷的动态规划难题，用代码斩破难题的迷雾！

在编程的世界里，动态规划可谓是解决复杂问题的一柄利器。它能将原本看似无法企及的问题，化繁为简，让我们用优雅的代码征服难题。今天，我们就来深入浅出地探讨一道经典的动态规划题，在这个过程中，领略动态规划的魅力。

题目是这样的：给定一个由 0 和 1 组成的 n x m 的网格，其中 0 表示可以通行，而 1 表示障碍物。我们从网格左上角出发，只能向下或向右移动，目标是到达右下角。求出所有可能的路径数。

乍看之下，这道题似乎有些复杂，但不要慌张。我们不妨将问题拆解成一个个小块，逐步攻破。

首先，我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从左上角走到 (i, j) 的路径数。根据动态规划的思想，我们可以通过以下递推公式来计算 dp[i][j]：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

这是因为从 (i, j) 走到右下角，要么是从 (i-1, j) 向下走一步，要么是从 (i, j-1) 向右走一步。因此，从左上角走到 (i, j) 的路径数等于从左上角走到 (i-1, j) 的路径数加上从左上角走到 (i, j-1) 的路径数。

有了递推公式，我们就可以从左上角开始，逐步计算出网格中每个位置的路径数。最终，右下角的位置 dp[n][m] 就是我们所求的答案。

下面我们来看一下 Java 代码的实现：

public class DynamicProgramming {

    public static int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];

        // 初始化第一行和第一列
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            dp[0][j] = 1;
        }

        // 递推计算
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }

        return dp[m-1][n-1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int m = 3;
        int n = 7;
        int result = uniquePaths(m, n);
        System.out.println("从左上角到右下角的路径数：" + result);
    }
}