序号转换：巧用排序和映射，探寻数组元素的相对大小

算法

给定一个整数数组arr，我们的目标是将数组中的每个元素替换为它们排序后的序号。这意味着我们将根据数组元素的大小，对它们进行排序，然后将每个元素替换为它们在排序后的数组中的位置。为了实现这一目标，我们可以使用以下步骤：

1. 排序数组 ：首先，我们将数组arr进行排序，以便我们可以根据元素的大小对它们进行比较和排序。排序可以使用各种算法实现，例如快速排序、归并排序或堆排序。选择一种适合您具体需求的排序算法即可。
2. 创建映射 ：接下来，我们将创建一个映射，将每个元素及其在排序后的数组中的位置相关联。我们可以使用哈希表或字典来实现这个映射。
3. 遍历数组并替换元素 ：最后，我们将遍历原始数组arr，并将每个元素替换为它在映射中的值。这意味着我们将根据元素的大小，将其替换为它在排序后的数组中的位置。

代码示例

def array_rank_transform(arr):
    """
    将数组中的每个元素替换为它们排序后的序号。

    参数：
        arr：一个整数数组。

    返回：
        一个整数数组，其中每个元素都被替换为它在排序后的数组中的序号。
    """

    # 1. 排序数组
    sorted_arr = sorted(arr)

    # 2. 创建映射
    rank_map = {}
    for i, num in enumerate(sorted_arr):
        if num not in rank_map:
            rank_map[num] = i + 1

    # 3. 遍历数组并替换元素
    ranked_arr = []
    for num in arr:
        ranked_arr.append(rank_map[num])

    return ranked_arr


# 测试用例
arr1 = [4, 5, 3, 1, 2]
print(array_rank_transform(arr1))  # [4, 5, 3, 1, 2]

arr2 = [2, 1, 3, 5, 4]
print(array_rank_transform(arr2))  # [2, 1, 3, 5, 4]

arr3 = [7, 3, 5, 2, 1, 4, 6]
print(array_rank_transform(arr3))  # [7, 3, 5, 2, 1, 4, 6]

时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度 ：

• 排序数组的时间复杂度取决于您选择的排序算法。对于快速排序和归并排序，时间复杂度通常为O(n log n)，其中n是数组的长度。
• 创建映射的时间复杂度为O(n)，因为我们需要遍历数组并为每个元素创建映射项。
• 遍历数组并替换元素的时间复杂度为O(n)，因为我们需要遍历数组并为每个元素查找其在映射中的值。

因此，算法的总时间复杂度为O(n log n)。

空间复杂度 ：

• 排序数组的空间复杂度取决于您选择的排序算法。对于快速排序和归并排序，空间复杂度通常为O(log n)或O(n)，这取决于实现方式。
• 创建映射的空间复杂度为O(n)，因为我们需要存储每个元素及其在排序后的数组中的位置。
• 遍历数组并替换元素的空间复杂度为O(1)，因为我们不需要额外的空间来存储任何数据。

因此，算法的总空间复杂度为O(n)。

总结

通过利用排序和映射技术，我们提供了一种巧妙的解决方案，可以有效地将数组中的每个元素替换为它们的排序后的序号。该算法的时间复杂度为O(n log n)，空间复杂度为O(n)。我们还提供了代码示例和测试用例，以帮助您更好地理解和掌握该算法。