子集选择与组合优化：深挖状压 DP 应用技巧

在计算机科学领域，状压 DP 是一种强大的算法技术，它能够巧妙地解决涉及子集选择和组合优化的难题。状压 DP 的核心思想是将问题中的子集用一个二进制数来表示，并利用动态规划的思想来逐步求解。

    在这篇文章中，我们将以 LeetCode 1994. 好子集的数目为例，深入剖析状压 DP 在子集选择和组合优化问题中的应用。通过结合理论讲解与代码示例，我们将揭示状压 DP 的强大威力，帮助您掌握这种高效算法的精髓。无论是作为算法竞赛的备战利器，还是用于解决实际工程难题，状压 DP 都将成为您的不二之选。

    **问题** 

    给定一个长度为 n 的数组 nums，其中每个元素为非负整数。您需要选择一个子集，使子集中每个元素的和为偶数。

    **问题求解：** 

    首先，我们将问题转化为一个状态转移方程。设 dp[i][j] 表示考虑前 i 个元素，且这些元素的和为 j 的子集的个数。那么，对于第 i 个元素，我们可以有以下两种选择：

    1. 将第 i 个元素加入子集。此时，子集的和为 j + nums[i]，因此 dp[i][j + nums[i]] += dp[i - 1][j]。
    2. 不将第 i 个元素加入子集。此时，子集的和仍然为 j，因此 dp[i][j] += dp[i - 1][j]。

    通过这种状态转移方程，我们可以逐步计算出 dp[n][j] 的值，即考虑所有元素时，子集的和为 j 的子集的个数。最后，我们将所有 j 为偶数的 dp[n][j] 值相加，即可得到满足题意的子集的个数。

    **代码示例：** 

    ```python
    def countGoodSubsets(nums):
        n = len(nums)
        dp = [[0] * (1 << 15) for _ in range(n + 1)]
        dp[0][0] = 1

        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1 << 15):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
                if nums[i - 1] % 2 == 0 or j == 0:
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j ^ (1 << (nums[i - 1] % 15))]

        return sum(dp[n][j] for j in range(1 << 15) if j % 2 == 0)

    nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
    print(countGoodSubsets(nums))  # 75
    ```

    **总结：** 

    状压 DP 是一种强大的算法技术，它能够巧妙地解决涉及子集选择和组合优化的难题。通过结合理论讲解与代码示例，我们深入剖析了状压 DP 在 LeetCode 1994. 好子集的数目问题中的应用。希望这篇文章能够帮助您掌握状压 DP 的精髓，并将其应用到更多的问题中。