593. 有效的正方形 : 探寻正方形隐藏密码，简单几何学挑战

2024-01-25 04:27:04

进入正方形的世界

正方形是一种非常特殊的几何图形。它拥有四条相等边的矩形，四个直角和四个相等角。正方形的面积等于边长乘以边长，周长等于边长的四倍。在数学和几何学中，正方形是一个非常重要的基本图形，在各个领域都有着广泛的应用。

挑战题目解析

「593. 有效的正方形」挑战题的题目如下：

给定一个长度为 4 的数组 points ，其中 points[i] 是 [x_i, y_i] 的形式，并且 points 已经按顺时针方向排好序。如果四个点构成一个有效的正方形，则返回 true ，否则返回 false 。

有效正方形的定义

一个有效的正方形需要满足以下条件：

四个点都不同。
它是一个凸四边形（即四个角都是锐角）。
它是一个矩形（即四个角都是直角）。
它的四个边都相等。

算法设计与实现

为了解决这个挑战，我们可以采用以下算法：

计算边长

首先，我们需要计算出正方形的边长。我们可以使用以下公式来计算边长：

边长 = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 是正方形的两条对角线的交点坐标。

检查是否为矩形

接下来，我们需要检查正方形是否为矩形。我们可以通过计算正方形的四个角是否都是直角来检查这一点。我们可以使用以下公式来计算正方形的角：

角 = arccos((a · b) / (|a| * |b|))

其中 a 和 b 是正方形的两条边的向量，|a| 和 |b| 是这两条边的长度。如果四个角都是直角，则正方形就是矩形。

检查是否为凸四边形

最后，我们需要检查正方形是否为凸四边形。我们可以通过计算正方形的四个角是否都是锐角来检查这一点。我们可以使用以下公式来计算正方形的角：

角 = arccos((a · b) / (|a| * |b|))

其中 a 和 b 是正方形的两条边的向量，|a| 和 |b| 是这两条边的长度。如果四个角都是锐角，则正方形就是凸四边形。

如果正方形满足以上三个条件，则它是有效的正方形，否则它不是有效的正方形。

Python代码实现

def is_valid_square(points):
  """
  判断四个点是否构成一个有效的正方形。

  Args:
    points: 一个长度为 4 的数组，其中 points[i] 是 [x_i, y_i] 的形式，并且 points 已经按顺时针方向排好序。

  Returns:
    如果四个点构成一个有效的正方形，则返回 True，否则返回 False。
  """

  # 检查四个点是否都不同
  if len(set(points)) != 4:
    return False

  # 计算边长
  side_length = sqrt((points[1][0] - points[0][0])**2 + (points[1][1] - points[0][1])** 2)

  # 检查是否为矩形
  for i in range(4):
    if arccos((points[(i + 1) % 4][0] - points[i][0]) * (points[(i + 3) % 4][0] - points[i][0]) + (points[(i + 1) % 4][1] - points[i][1]) * (points[(i + 3) % 4][1] - points[i][1])) / (side_length * side_length)) > pi / 2:
      return False

  # 检查是否为凸四边形
  for i in range(4):
    if arccos((points[(i + 1) % 4][0] - points[i][0]) * (points[(i + 2) % 4][0] - points[i][0]) + (points[(i + 1) % 4][1] - points[i][1]) * (points[(i + 2) % 4][1] - points[i][1])) / (side_length * side_length)) > pi / 2:
      return False

  return True