寻求正序数组的折中点：O(log(m+n)) 中位数算法

闲谈

2023-12-26 17:56:08

准备着手破解一道颇具挑战性的编程难题吧！想象你拥有两个正序排列的数组，也就是它们内里的数字已经按从小到大的顺序排列妥当。你的任务是找出这两个数组的“中位数”，也就是当把它们合并成一个数组时，正好处于中间位置的那个数字。

现在，事情变得棘手起来：我们要求你使用一种高效的算法，其时间复杂度为 O(log(m+n))。这可不是件容易的事，这意味着算法的运行时间不会随着数组长度的增加而呈指数级增长。

[算法的关键]

为了解决这个难题，我们采用“二分查找”的策略，巧妙地将问题化繁为简。我们先假设这两个数组已经合并成一个更大的数组，然后在这个假设的数组中执行二分查找，找出中位数。

找出合并数组的长度和中位数索引：

首先，计算合并数组的长度 m+n。然后，根据这个长度，确定中位数索引 mid，即 (m+n) // 2。
二分查找中位数：

现在，我们将对合并数组执行二分查找，不断缩小查找范围，直到找到中位数。
- 从头尾两个指针 low 和 high 开始，将它们分别初始化为 0 和 m+n-1。
- 找到中点索引 middle = (low + high) // 2，并计算其在合并数组中的位置：
  - 如果 middle 落在 nums1 中，则位置为 left_part = middle。
  - 如果 middle 落在 nums2 中，则位置为 right_part = middle - m。
- 检查 left_part 和 right_part 是否等于 mid：
  - 如果相等，则 middle 就是中位数。
  - 如果 left_part 小于 mid，则说明中位数在右侧，因此将 low 更新为 middle + 1。
  - 如果 right_part 小于 mid，则说明中位数在左侧，因此将 high 更新为 middle - 1。
- 重复步骤 2，直到 low 和 high 相遇。

[代码示例]

为了加深理解，这里提供一个示例代码片段，用 Python 实现上述算法：

def find_median(nums1, nums2):
  m, n = len(nums1), len(nums2)
  low, high = 0, m + n - 1

  while low <= high:
    middle = (low + high) // 2
    left_part = middle if middle < m else middle - m
    right_part = middle - m if middle < m else middle

    if left_part == right_part:
      return nums1[left_part] if left_part < m else nums2[right_part]
    elif left_part < right_part:
      low = middle + 1
    else:
      high = middle - 1

  raise ValueError("Invalid input arrays")