动态规划解析 LeetCode 2328. 网格中递增路径的数目：Python 实现

2023-11-18 21:42:03

探索网格中的递增路径

在今天的技术专栏中，我们将带领大家深入 LeetCode 的第 2328 号难题：“网格中递增路径的数目”。作为本周竞赛的第四题，它的难度级别为 Hard，旨在考察我们使用动态规划算法寻找不同路径的能力。我们将在本文中利用 Python 作为编程语言，并结合深度优先搜索和回溯法，帮助大家理解递增路径的本质，同时优化求解过程，进一步提升编程技能。

理解问题

首先，我们需要对问题本身有清晰的理解。题目给出了一个二维网格，其中每个单元格包含一个整数。我们的任务是计算从左上角单元格出发，能够到达的递增路径的总数。递增路径是指从一个单元格移动到相邻单元格时，相邻单元格中的值必须大于或等于当前单元格的值。

深入浅出，算法分析

动态规划算法无疑是解决该问题的有力工具。我们可以在网格中，针对每个单元格，使用动态规划算法来计算到达该单元格的递增路径的总数。具体实现方法如下：

初始化： 我们首先创建一个与网格大小相同的二维数组 dp，其中每个元素初始化为 0。dp[i][j] 表示从左上角单元格到达单元格 (i, j) 的递增路径的总数。
递推： 对于每个单元格 (i, j)，我们检查它相邻的四个单元格：上、下、左、右。如果相邻单元格的值大于或等于单元格 (i, j) 的值，则我们计算从相邻单元格到达单元格 (i, j) 的递增路径的总数，并将其添加到 dp[i][j] 中。
结果： 最终，dp[n-1][m-1] 表示从左上角单元格到达右下角单元格的递增路径的总数，也是我们所要求的答案。

Python 实现，代码解析

为了进一步加深对算法的理解，我们使用 Python 来实现该算法：

def num_of_increasing_paths(grid):
  # 初始化
  n, m = len(grid), len(grid[0])
  dp = [[0] * m for _ in range(n)]

  # 初始化第一行和第一列
  for i in range(n):
    if grid[i][0] == 1:
      dp[i][0] = 1
  for j in range(m):
    if grid[0][j] == 1:
      dp[0][j] = 1

  # 递推
  for i in range(1, n):
    for j in range(1, m):
      if grid[i][j] == 1:
        if grid[i-1][j] >= grid[i][j]:
          dp[i][j] += dp[i-1][j]
        if grid[i][j-1] >= grid[i][j]:
          dp[i][j] += dp[i][j-1]

  # 返回结果
  return dp[n-1][m-1]

# 测试用例
grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
print(num_of_increasing_paths(grid))  # 输出：7