Python中的动力学系统模拟：使用欧拉法进行集成

2023-09-20 21:33:45

前言

动力学系统是物体运动及其相互作用的数学模型，在物理、工程和计算机科学等领域有广泛的应用。本文将介绍如何使用Python模拟动力系统，重点介绍欧拉法进行集成的实现。欧拉法是一种简单的数值积分方法，常用于求解微分方程。我们将使用欧拉法来求解单摆系统的运动方程，并使用Python进行仿真。

单摆系统的动力学模型

单摆系统是一个经典的动力学系统，由一个摆球和一根绳子组成。摆球的运动受重力和绳子的张力作用。单摆系统的运动方程可以表示为：

m * L * d^2θ/dt^2 = -mg * sin(θ)

其中：

m是摆球的质量
L是绳子的长度
g是重力加速度
θ是摆球与竖直线的夹角

欧拉法进行集成

欧拉法是一种简单的数值积分方法，常用于求解微分方程。欧拉法的基本思想是将微分方程近似为差分方程，然后通过迭代来求解差分方程。欧拉法的步骤如下：

给定微分方程y'(t) = f(t, y(t))，在t0处给定初始条件y(t0) = y0。
计算y(t0 + h) = y0 + h * f(t0, y0)，其中h是时间步长。
重复步骤2，直到达到所需的最终时间。

Python代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义单摆系统的参数
m = 1 # 摆球质量 (kg)
L = 1 # 绳子长度 (m)
g = 9.81 # 重力加速度 (m/s^2)

# 定义欧拉法的时间步长
h = 0.01 # (s)

# 定义初始条件
theta_0 = np.pi/2 # 初始角度 (rad)
omega_0 = 0 # 初始角速度 (rad/s)

# 初始化存储数据的列表
theta = [theta_0]
omega = [omega_0]

# 使用欧拉法进行积分
for t in range(1, 1000):
    # 计算角加速度
    alpha = -(g/L) * np.sin(theta[t-1])

    # 计算角速度
    omega.append(omega[t-1] + h * alpha)

    # 计算角度
    theta.append(theta[t-1] + h * omega[t])

# 绘制图形
plt.plot(theta, omega)
plt.xlabel("角度 (rad)")
plt.ylabel("角速度 (rad/s)")
plt.title("单摆系统的运动")
plt.show()