二分与前缀和：点亮蜡烛的艺术

2024-01-06 13:38:19

问题概述

给你一个整数数组 candles，其中 candles[i] 表示第 i 根蜡烛的高度。你想要在这些蜡烛上放一个盘子，使得这个盘子恰好位于两根蜡烛之间。盘子的高度是 h。请问有多少种不同的放置方式？

解决方案：二分和前缀和

为了解决这个问题，我们将采用二分查找和前缀和相结合的策略。

首先，我们将对蜡烛高度数组 candles 进行升序排序。
然后，我们将创建一个前缀和数组 prefix_sum，其中 prefix_sum[i] 表示前 i 个蜡烛高度之和。
现在，我们将枚举所有可能的盘子高度 h。对于每个 h，我们可以使用二分查找找到两个相邻的蜡烛，使得它们的蜡烛高度分别为 x 和 y，其中 x < h < y。
那么，我们可以将这 h 放置在 x 和 y 之间。并且盘子左边恰好有 (prefix_sum[y - 1] - prefix_sum[x]) / 2 根蜡烛。右边也恰好有 (prefix_sum[n - 1] - prefix_sum[y]) / 2 根蜡烛，这样一共就有 ((prefix_sum[y - 1] - prefix_sum[x]) / 2) * ((prefix_sum[n - 1] - prefix_sum[y]) / 2) 种放置方式。

代码实现

def count_ways(candles, h):
  """
  计算在蜡烛之间放置盘子的方案数。

  参数:
    candles: 蜡烛高度数组，其中 candles[i] 表示第 i 根蜡烛的高度。
    h: 盘子的高度。

  返回:
    int: 放置方案数。
  """

  # 对蜡烛高度数组进行排序
  candles.sort()

  # 创建前缀和数组
  prefix_sum = [0] * len(candles)
  prefix_sum[0] = candles[0]
  for i in range(1, len(candles)):
    prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + candles[i]

  # 枚举所有可能的盘子高度
  total_ways = 0
  for i in range(1, len(candles)):
    # 使用二分查找找到两个相邻的蜡烛，使得它们的蜡烛高度分别为 x 和 y，其中 x < h < y
    left = 0
    right = i - 1
    while left <= right:
      mid = left + (right - left) // 2
      if candles[mid] < h < candles[mid + 1]:
        break
      elif candles[mid] >= h:
        right = mid - 1
      else:
        left = mid + 1

    # 计算放置方案数
    if left < i and right >= 0 and candles[left] < h < candles[right + 1]:
      left_ways = (prefix_sum[left] - prefix_sum[right]) // 2
      right_ways = (prefix_sum[len(candles) - 1] - prefix_sum[left]) // 2
      total_ways += left_ways * right_ways

  return total_ways