反向传播、随机梯度下降与正规方程求解：深度学习入门必备

当我们深入学习神经网络的时候，会不可避免的接触到很多复杂的数学知识。为了便于学习，我们往往会使用一些现有的库或者框架，比如 TensorFlow, Keras, PyTorch, PaddlePaddle，甚至框架本身提供了一些算法的API。但是在我们学习初期，如果对这些数学原理没有一个清晰的认识，就会有不知所措的感觉，没有底层原理的积累，学习的速度和效果都会大大降低，虽然我们熟练掌握使用框架的能力。

反向传播

在最优化的过程中，我们常常听到一个概念：梯度。梯度是方向导数的推广。对于某个点，它是沿该点各个方向导数的最大值。如果我们想找到一个函数的极值点，我们可以通过计算梯度并沿着梯度的反方向移动来实现。

反向传播是一种用于训练人工神经网络的算法，它可以计算出网络中每个权重的梯度，并根据这些梯度来更新权重，以使网络的误差函数最小化。反向传播算法是深度学习中最基本也是最重要的算法之一，它是其他许多算法的基础。

反向传播是利用链式法则，根据损失函数对各个权重的偏导数来计算梯度。该算法从输出层开始，一层一层地反向传播，直到输入层，从而计算出每个权重的梯度。反向传播算法具有很强的通用性，它可以用于训练各种类型的神经网络。

随机梯度下降

随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）是一种常用的优化算法。它通过迭代的方式来更新模型参数，在每次迭代中，随机梯度下降算法会从训练数据中选取一个小批量的数据，计算损失函数的梯度，然后根据梯度更新模型参数。

随机梯度下降算法的优点是它可以减少计算量，并且可以防止过拟合。它的缺点是它可能不会收敛到最优解，并且可能会出现振荡。

小批量梯度下降

小批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent，MBGD）是随机梯度下降的一种变体。在小批量梯度下降中，模型参数不是基于整个训练集的梯度来更新的，而是基于小批量数据（即训练集的一部分）的梯度来更新的。

小批量梯度下降的优点是它可以减少计算量，并且可以防止过拟合。它的缺点是它可能不会收敛到最优解，并且可能会出现振荡。

正规方程求解

正规方程求解（Normal Equation）是一种求解线性回归模型参数的解析解的方法。正规方程求解的公式为：

其中，\mathbf{w}是模型参数向量，\mathbf{X}是特征矩阵，\mathbf{y}是目标向量。

正规方程求解的优点是它可以得到解析解，并且不需要迭代。它的缺点是它可能会出现病态（ill-conditioned）的情况，即特征矩阵\mathbf{X}不可逆。

总结

反向传播、随机梯度下降与正规方程求解是深度学习领域中非常重要的三个算法。反向传播用于训练人工神经网络，随机梯度下降和正规方程求解用于优化模型参数。这些算法都有各自的优点和缺点，在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的算法。