揭秘厄拉多塞筛法：快速列出质数的利器

python

2024-03-27 20:22:26

## 厄拉多塞筛法：快速列出质数的算法

作为经验丰富的程序员和技术作家，我经常被问到如何快速有效地列出质数。今天，我将分享一种有效算法——厄拉多塞筛法。这种算法比暴力的试除法要快得多，可以高效地找出小于给定整数的所有质数。

### 厄拉多塞筛法的工作原理

厄拉多塞筛法的核心思想是标记非质数，留下质数。它的步骤如下：

创建数字列表： 从 2 到给定的整数 N 创建一个包含所有整数的列表。
将 2 标记为质数： 2 是第一个质数，因此将其标记为质数。
从 3 开始，循环到 √N： 对于每个数字 i：
- 如果 i 是质数：
  - 将 i 的所有倍数标记为非质数。
收集质数： 循环结束后，未被标记为非质数的数字就是质数。

### 优化厄拉多塞筛法

为了进一步提高效率，我们可以对筛法进行以下优化：

使用位数组： 用一个位数组来存储每个数字是否为质数，而不是使用列表，以节省空间和时间。
仅检查奇数： 除了 2，所有质数都是奇数，因此我们仅需要检查奇数。
仅检查到 √N： 对于每个质数 i，我们只需要将它的倍数标记到 √N，因为任何大于 √N 的数字的倍数一定已经由更小的质数标记过了。

### 厄拉多塞筛法的应用

厄拉多塞筛法广泛应用于需要查找质数的领域，例如：

加密算法
素数测试
数学研究
计算机科学理论

### Python 代码示例

def get_primes(n):
    primes = [True] * (n + 1)
    primes[0] = primes[1] = False
    for i in range(2, int(math.sqrt(n)) + 1):
        if primes[i]:
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                primes[j] = False
    return [i for i in range(2, n + 1) if primes[i]]