点在平面上是否如此简单？是概念，也是计算！

在几何学中，判断一个点是否在平面上是一个常见的问题。虽然我们可以通过计算点到平面的距离来判断，但更简单的方法是用向量点乘来完成。

向量点乘

向量点乘又称为内积，是两个向量的乘积。两个向量点乘的结果是一个标量，等于这两个向量在同一条直线上的投影的乘积。

具体来说，向量 A 和向量 B 的点乘为：

其中：

• |A| 和 |B| 分别是向量 A 和向量 B 的长度。
• \theta 是向量 A 和向量 B 之间的夹角。

用向量点乘判断点在平面上

当一个点在平面上时，它到平面的距离为 0。换句话说，这个点到平面上的任意两个点的向量是平行的。

因此，我们可以用向量点乘来判断一个点是否在平面上：

1. 取平面上的任意两个点，记为 A 和 B。
2. 计算点 P 到点 A 和点 B 的向量，记为 \overrightarrow{PA} 和 \overrightarrow{PB}。
3. 计算 \overrightarrow{PA} 和 \overrightarrow{PB} 的点乘，记为 \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}。
4. 如果 \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0，则点 P 在平面上。
5. 否则，点 P 不在平面上。

以下是一个具体示例：

平面方程：

给定点：

步骤 1：
取平面上的任意两个点，如 (0, 0, 0) 和 (1, 1, 4)。

步骤 2：
计算点 P 到点 A 和点 B 的向量，得到：

步骤 3：
计算 \overrightarrow{PA} 和 \overrightarrow{PB} 的点乘，得到：

步骤 4：
由于 \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} \neq 0，因此点 P 不在平面上。

结论

用向量点乘来判断点在平面上是一种简单而有效的方法。这种方法在计算机图形学和物理学等领域都有广泛的应用。