捕捉时机，实现财富增值：买卖股票的最佳策略

前端

2024-01-25 07:38:37

作为精明的投资者，把握买卖股票的最佳时机至关重要，能够让我们在股市中大展拳脚，实现财富的稳步增长。今天，我们就来深入探讨《买卖股票的最佳时机 II》这一经典问题，探索在波诡云谲的股市中捕捉获利良机的制胜秘诀。

理解问题

在《买卖股票的最佳时机 II》中，我们被赋予一个股票价格数组 prices，其中 prices[i] 代表股票在第 i 天的价格。我们的目标是找到一组交易，即买卖股票的最佳时机，以最大化我们的利润。

与经典的买卖股票问题不同的是，本题允许我们进行任意次数的交易，这意味着我们可以多次买卖股票以获取最大收益。这一规则为我们的策略增添了灵活性，也让问题变得更加复杂。

贪心算法：分段收益最大化

面对这一挑战，我们首先想到的解决方案之一就是贪心算法。贪心算法的核心思想是：在当前的情况下，做出对局部最优的选择，逐步累积收益，最终达到全局最优。

在《买卖股票的最佳时机 II》问题中，我们采用分段收益最大化的贪心策略。具体步骤如下：

识别波谷： 从数组的第二个元素开始遍历，如果当前元素小于前一个元素，则说明遇到了一个波谷。
等待波峰： 继续遍历数组，如果当前元素大于前一个元素，则说明处于上涨趋势中，我们等待波峰的出现。
计算收益： 当遇到波峰时，计算波谷到波峰之间的差值，并将其作为本次交易的收益。
累积收益： 将本次交易的收益累加到总收益中。
重复步骤 1-4： 继续遍历数组，重复上述步骤，直到遍历完成。

动态规划：全局最优解

贪心算法虽然简单易懂，但它不能保证找到全局最优解。为了提升算法的性能，我们可以采用动态规划的方法，这是一个自底向上的求解过程。

动态规划的思路是：

定义状态： 设 dp[i][j] 为在第 i 天，拥有 j 股股票时的最大利润。其中 i 取值范围为 [0, n-1]，j 取值范围为 [0, 1]。
状态转移方程： 根据股票买卖规则，我们可以得到如下状态转移方程：
- dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
- dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
边界条件：
- dp[0][0] = 0
- dp[0][1] = -prices[0]
求解： 根据状态转移方程和边界条件，我们可以逐步计算出每个状态的值，最终得到全局最优解 dp[n-1][0]。

代码实现

Python 贪心算法：

def max_profit(prices):
    profit = 0
    for i in range(1, len(prices)):
        if prices[i] > prices[i-1]:
            profit += prices[i] - prices[i-1]
    return profit

Python 动态规划：

def max_profit(prices):
    n = len(prices)
    dp = [[0] * 2 for _ in range(n)]
    dp[0][1] = -prices[0]
    for i in range(1, n):
        dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
        dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])
    return dp[n-1][0]