揭秘外观数列的奥秘：从概念到算法

2023-10-28 04:39:17

外观数列：一个自我的递归

外观数列是一个奇妙的整数序列，从数字 1 开始，其中每一项都了前一项的“外观”。例如，序列的前几项为：

仔细观察可以发现，每一项都了前一项中连续数字出现的次数。例如，"21" 表示前一项 "11" 中有两个 1 连续出现。而 "1211" 则表示前一项 "21" 中有一个 2 和两个 1 连续出现。

算法实现：递归与动态规划

生成外观数列有两种主要方法：递归和动态规划。

递归方法

递归方法基于这样一个事实：外观数列的第 n 项可以通过以下递归关系式计算：

f(n) = f(n-1).replaceAll("k", "k+1")

其中 f(n) 表示外观数列的第 n 项，replaceAll 操作将所有连续的相同数字替换为其数量加 1。

动态规划方法

动态规划方法通过构建一个表来存储外观数列的前 n 项。表中的每一行都存储外观数列的一项，每一列都存储特定数字的连续出现次数。

代码示例：Python

递归方法

def countAndSay(n):
    if n == 1:
        return "1"
    else:
        return countAndSay(n-1).replaceAll("k", "k+1")

动态规划方法

def countAndSay(n):
    dp = [""] * (n+1)
    dp[1] = "1"

    for i in range(2, n+1):
        count = 1
        prev = dp[i-1][0]

        for j in range(1, len(dp[i-1])):
            if dp[i-1][j] == prev:
                count += 1
            else:
                dp[i] += str(count) + prev
                prev = dp[i-1][j]
                count = 1

        dp[i] += str(count) + prev

    return dp[n]