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快速掌握树形 DP 问题的通用思路
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2023-09-22 06:27:42
树形 DP 问题是指在树形结构上进行动态规划的问题。树形结构是一种常见的非线性数据结构，由节点和边组成，节点表示树中的元素，边表示节点之间的连接关系。树形 DP 的基本思想是将树形结构分解为若干个子问题，然后逐层求解这些子问题，最终得到整个树形结构的答案。
树形 DP 问题的通用思路可以概括为以下几个步骤：
- 明确子问题和状态定义： 将树形结构分解为若干个子问题，每个子问题对应于树中的一棵子树。状态定义通常是子树的某个性质或属性，例如子树的最小高度、最大值、最小值等。
- 建立状态转移方程： 根据子问题的定义和状态定义，推导出子问题之间的关系，即状态转移方程。状态转移方程可以是递推关系、递归关系或其他形式，具体形式取决于具体问题。
- 确定初始状态： 确定树形结构的初始状态，即树中根节点的状态。初始状态通常是已知或容易计算的。
- 执行动态规划： 按照状态转移方程，从初始状态开始逐层计算子问题的解，直到得到整个树形结构的答案。
树形 DP 算法的复杂度通常是 O(n)，其中 n 是树中节点的数量。
下面以 LeetCode 上的 310. 最小高度树 问题为例，详细介绍树形 DP 的应用。
题目给定一棵树，其中每个节点都有一个权重。求这棵树的最小高度树，即权重和最小的子树。
这个问题可以用树形 DP 来解决。首先，将树分解为若干个子问题，每个子问题对应于树中的一棵子树。子问题的状态定义是子树的最小高度。状态转移方程可以推导出如下：
dp[u] = min(dp[v] + w[v])
其中，u 是子树的根节点，v 是 u 的子节点，w[v] 是子节点 v 的权重，dp[u] 是子树的最小高度。
初始状态是树的根节点，最小高度为 0。然后，按照状态转移方程，从根节点开始逐层计算子问题的解，直到得到整个树形结构的答案。
树形 DP 算法的代码实现如下：
def min_height_tree(root):
"""
求这棵树的最小高度树，即权重和最小的子树。
Args:
root: 树的根节点。
Returns:
最小高度树的根节点。
"""
# 将树分解为若干个子问题，每个子问题对应于树中的一棵子树。
subproblems = {}
# 将树的根节点作为初始状态，最小高度为 0。
subproblems[root] = 0
# 按照状态转移方程，从根节点开始逐层计算子问题的解，直到得到整个树形结构的答案。
def dfs(node):
"""
计算子树的最小高度。
Args:
node: 子树的根节点。
Returns:
子树的最小高度。
"""
# 如果子问题已经计算过，则直接返回。
if node in subproblems:
return subproblems[node]
# 如果子问题没有计算过，则计算子问题的解。
min_height = float('inf')
for child in node.children:
min_height = min(min_height, dfs(child) + child.weight)
# 将子问题的解存储在哈希表中。
subproblems[node] = min_height
# 返回子问题的解。
return min_height
# 从根节点开始进行深度优先搜索。
dfs(root)
# 找到最小高度树的根节点。
min_height = float('inf')
min_height_node = None
for node in subproblems:
if subproblems[node] < min_height:
min_height = subproblems[node]
min_height_node = node
return min_height_node
树形 DP 算法是一种强大的动态规划算法，可以解决许多树形结构上的优化问题。本文通过 LeetCode 上的 310. 最小高度树 问题，详细介绍了树形 DP 的通用思路和应用。希望本文能够帮助您更好地理解树形 DP 算法，并将其应用到您的实际项目中。
