欧拉筛法简明指南 - 算法刷题【洛谷P3383】线性筛素数

欧拉筛法：踏上素数求解之旅

探索欧拉筛法的精髓

素数，这些神秘而令人着迷的数字，在数学和算法领域扮演着至关重要的角色。欧拉筛法作为一种强大的工具，使我们能够高效地揭开这些素数的秘密。

欧拉筛法的核心原理

欧拉筛法的本质在于逐步过滤掉合数，留下未被标记的整数作为素数。这个过程从最小的素数 2 开始，依次检查每个数字。如果一个数字尚未被标记为非素数，那么它就是素数。接着，欧拉筛法将这个素数的倍数标记为非素数，确保不会遗漏任何合数。

步步深入：欧拉筛法的步骤

1. 初始化： 创建一个长度为 n+1 的数组 prime，其中 n 是我们希望找到最大素数的范围。将 prime[0] 和 prime[1] 设置为非素数，因为 0 和 1 不是素数。

2. 从 2 开始检查： 从 2 开始，逐个检查每个数字 i。

3. 判断素数： 如果 prime[i] 为真，表示 i 是素数。

4. 标记倍数： 将 i 的所有倍数（i2、i3、i*4 等）标记为非素数。

5. 继续检查： 检查完 i 后，继续检查下一个数字 i+1。

6. 重复筛选： 重复步骤 2-5，直到检查完 n。

7. 完成筛选： 经过此过程后，所有素数将在 prime 数组中标记为真，而非素数则标记为假。

用代码示例：欧拉筛法的实现

def eratosthenes_sieve(n):
    """
    使用欧拉筛法生成素数列表

    Args:
        n: 要查找素数的最大整数

    Returns:
        一个长度为n+1的列表，其中素数标记为真，非素数标记为假
    """

    # 初始化prime数组，标记0和1为非素数
    prime = [True] * (n + 1)
    prime[0] = prime[1] = False

    # 从2开始检查每个整数
    for i in range(2, n + 1):
        if prime[i]:
            # 标记i的倍数为非素数
            for j in range(i * i, n + 1, i):
                prime[j] = False

    # 返回素数列表
    return prime

欧拉筛法的应用场景

欧拉筛法的实用性体现在以下问题求解：

• 查找素数： 快速确定给定范围内的所有素数。
• 分解整数： 将整数分解为其素因数的乘积。
• 求解同余方程： 解决特定模数下的同余方程。
• 计算欧拉函数： 计算欧拉函数，表示小于或等于给定整数且与之互质的正整数的数量。

算法优化：提升欧拉筛法的性能

为了进一步提升欧拉筛法的效率，可以考虑以下优化技巧：

• 预处理： 在筛选前预先计算出一些中间结果，以加快后续的素数查找。
• 使用位数组： 使用位数组存储素数标记，节省空间并提高性能。
• 并行计算： 欧拉筛法是一种可并行计算的算法，利用多核处理器加速筛选过程。

结语

欧拉筛法以其简洁高效而闻名，在素数求解领域发挥着重要作用。通过本文的深入探究，你已经掌握了欧拉筛法的原理、步骤、实现和应用，并了解了算法优化策略。掌握欧拉筛法，将为你的算法竞赛和数学探索之旅注入新的动力。

常见问题解答

1. 什么是素数？ 素数是指只能被 1 和自身整除的自然数。

2. 欧拉筛法的工作原理是什么？ 欧拉筛法通过逐个检查数字并过滤掉合数，来确定素数。

3. 欧拉筛法的时间复杂度是多少？ 欧拉筛法的平均时间复杂度为 O(n log log n)，其中 n 是要筛选的最大整数。

4. 如何优化欧拉筛法的性能？ 预处理、位数组和并行计算等优化技巧可以提高欧拉筛法的效率。

5. 欧拉筛法有什么实际应用？ 欧拉筛法广泛应用于寻找素数、分解整数、求解同余方程和计算欧拉函数。