点乘：解锁线性代数中的几何之美

2024-02-12 06:39:21

点乘：线性代数中的几何之美

在数据科学和技术飞速发展的时代，线性代数已成为不可或缺的工具。其中，点乘以其几何直观性和广泛应用脱颖而出。本文将带你领略点乘在计算机图形学、机器学习和物理学中的迷人魅力，探索线性代数中的几何之美。

点乘的定义

点乘，又称内积，是一种将两个同维向量映射为标量的运算。对于两个向量<x1, x2, ..., xn>和<y1, y2, ..., yn>，其点乘定义为：

dot(x, y) = x1 * y1 + x2 * y2 + ... + xn * yn

点乘的几何意义

点乘具有重要的几何意义。对于两个非零向量x和y，其点乘的绝对值等于x在y方向上的投影长度，乘以y的模长：

|dot(x, y)| = |x| * |y| * cos(theta)

其中，theta为x和y之间的夹角。

点乘的性质

点乘具有以下性质：

对称性： dot(x, y) = dot(y, x)
线性性： dot(ax + by, z) = adot(x, z) + bdot(y, z)
正交性： 如果两个向量正交（垂直），则其点乘为0。
范数： 向量的范数等于其与自身的点乘平方根：|x| = sqrt(dot(x, x))

点乘在计算机图形学中的应用

在计算机图形学中，点乘广泛用于：

代码示例：

import numpy as np

# 计算向量长度
vector = np.array([3, 4])
length = np.sqrt(np.dot(vector, vector))

# 归一化向量
normalized_vector = vector / length

# 判断向量是否正交
vector1 = np.array([1, 2])
vector2 = np.array([3, -1])
if np.dot(vector1, vector2) == 0:
    print("向量正交")
else:
    print("向量不垂直")

点乘在机器学习中的应用

在机器学习中，点乘是许多算法的核心，例如：

代码示例：

import numpy as np
from sklearn.metrics.pairwise import cosine_similarity

# 计算欧几里得距离
vector1 = np.array([1, 2, 3])
vector2 = np.array([4, 5, 6])
euclidean_distance = np.linalg.norm(vector1 - vector2)

# 计算余弦相似度
cosine_sim = cosine_similarity(vector1.reshape(1, -1), vector2.reshape(1, -1))

点乘在物理学中的应用

在物理学中，点乘用于：

代码示例：

import numpy as np

# 计算功
force = np.array([10, 20])
displacement = np.array([3, 4])
work = np.dot(force, displacement)

# 计算力矩
position = np.array([5, 10])
force = np.array([20, 10])
torque = np.cross(position, force)