挖掘「数位 DP」的潜力：动态规划算法的巧妙运用

2024-01-20 13:26:49

当然可以，以下是动态规划算法解析：

动态规划算法的魅力

动态规划是一种解决复杂问题的经典算法范式。其核心思想在于将问题分解成一系列子问题，并通过子问题的最优解来递推得到原问题的最优解。这种「从下而上」的思路使得动态规划算法在解决许多现实问题时表现出优异的性能。

「数位 DP」的独特之处

「数位 DP」是动态规划算法的一个分支，它专门解决与数字有关的问题。在「数位 DP」中，我们将数字视为由个位、十位、百位等组成的「数位」，并通过对这些「数位」进行操作来解决问题。这种思路使得「数位 DP」在处理数字问题时往往能展现出令人惊叹的效率和简洁性。

LeetCode 1012：至少有 1 位重复的数字

LeetCode 1012 是一个「困难」难度的题目，题干如下：

给定正整数 n，返回在 [1, n] 范围内所有数字中，至少有一位重复的数字的个数。

乍一看，这道题似乎很难下手。但是，如果我们换个思路，将数字分解成「数位」，并利用「数位 DP」的思想来解决问题，那么一切就变得豁然开朗了。

算法解析

我们首先定义一个状态 dp[i][j][k]，其中：

i 表示当前考虑的数字的位数。
j 表示当前考虑的数字的最高位数字。
k 表示当前考虑的数字是否至少有一位重复的数字。

然后，我们就可以根据以下递推关系来计算 dp[i][j][k]：

如果 i = 1，那么 dp[i][j][k] = 1，因为任何一位数字都满足题目要求。
如果 i > 1，那么 dp[i][j][k] 可以分解成两种情况：
- 如果当前考虑的数字的最高位数字 j 已经出现过，那么 dp[i][j][k] 等于当前考虑的数字的最高位数字 j 之前的数字的个数乘以当前考虑的数字的最高位数字 j 的个数，即 dp[i - 1][j][1] * j。
- 如果当前考虑的数字的最高位数字 j 没有出现过，那么 dp[i][j][k] 等于当前考虑的数字的最高位数字 j 之前的数字的个数乘以当前考虑的数字的最高位数字 j 的个数，再乘以不包含当前考虑的数字的最高位数字 j 的所有数字的个数，即 dp[i - 1][j][1] * j * dp[i - 1][j - 1][0]。

最后，我们只需要计算 dp[log_{10}(n) + 1][0][1] 的值，就可以得到在 [1, n] 范围内所有数字中，至少有一位重复的数字的个数了。

代码实现

def numDupDigitsAtMostN(n):
    """
    :type n: int
    :rtype: int
    """
    # 定义状态 dp[i][j][k]
    dp = [[[0 for _ in range(2)] for _ in range(10)] for _ in range(10)]

    # 初始化
    for i in range(1, 10):
        dp[1][i][1] = 1

    # 递推计算
    for i in range(2, 10):
        for j in range(10):
            for k in range(2):
                if k == 0:
                    dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k] * j
                else:
                    dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][1] * j + dp[i - 1][j - 1][0] * dp[i - 1][j][1]

    # 计算最终结果
    res = dp[len(str(n))][0][1]

    # 返回结果
    return res

# 测试代码
n = 20
result = numDupDigitsAtMostN(n)
print(result)