子数组数论：算法解惑之探索小于 K 的子数组得分之秘

2024-01-13 05:06:35

子数组奥秘：揭开计算分数小于 K 的子数组数

在算法领域，子数组的魅力常常让人着迷。探索如何计算一个数组中分数小于某个特定值 K 的子数组数目，带我们踏上一段激动人心的数字和组合奇妙之旅。

子数组的定义

一个数组的子数组是从原数组中选取的一段连续元素序列。例如，给定一个数组 [1, 2, 3, 4, 5]，其子数组可以是 [1], [2], [3], [4], [5], [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]，以及整个数组 [1, 2, 3, 4, 5]。

子数组的分数

一个子数组的分数是一个特殊的值，它是由子数组中所有元素之和与子数组长度的乘积计算得出。例如，子数组 [1, 2, 3] 的分数为 (1 + 2 + 3) * 3 = 18。

小于 K 的子数组数

我们的任务是计算在一个给定的正整数数组中，分数小于 K 的子数组数目。为了解决这个问题，我们可以采用以下步骤：

预处理数组和得分前缀和： 计算数组中每个元素的得分前缀和，它表示从数组开头到该元素的分数和。
滑动窗口计数： 使用一个滑动窗口来跟踪当前的子数组得分。当得分大于或等于 K 时，窗口向右移动。当得分小于 K 时，窗口向右移动，同时计数器增加 1。
枚举起点和终点： 对于数组中的每个元素，我们枚举它作为子数组起点的可能位置。对于每个起点，我们找到以该元素为终点的最长子数组，其得分小于 K。

算法实现

def count_subarrays(nums, K):
  # 预处理得分前缀和
  prefix_sums = [0] * len(nums)
  prefix_sums[0] = nums[0]
  for i in range(1, len(nums)):
    prefix_sums[i] = prefix_sums[i - 1] + nums[i]

  # 滑动窗口计数
  count = 0
  left = 0
  right = 0
  while right < len(nums):
    score = prefix_sums[right] - prefix_sums[left] + nums[left]
    if score < K:
      count += 1
      right += 1
    else:
      left += 1

  return count