背包问题：动态规划经典题目的深度剖析，让你秒变高手

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2023-11-11 00:00:21

背包问题：动态规划解题秘诀

背包问题是算法中一个经典难题，其广泛应用于现实场景，诸如资源分配、生产计划和投资组合优化。本文将深入探讨背包问题，剖析其不同类型和动态规划求解方法，揭示其在实际中的应用。

一、背包问题的定义

背包问题模拟了这样一个场景：你有一个背包，容量有限。你面前摆放着若干物品，每个物品都有自己的重量和价值。你的目标是在不超背包容量的条件下，选择一组物品放入背包，使得它们的总价值最大化。

二、背包问题的类型

背包问题有两种常见类型：

0/1背包： 每种物品只能选择一次，要么放入背包，要么不放。

完全背包： 每种物品可以放入背包多次，数量不受限制。

三、背包问题的动态规划求解

动态规划是一种自底向上的求解算法，适用于求解包含重叠子问题的复杂问题。背包问题正是一例。

0/1背包的动态规划求解步骤：

定义状态： dp[i][j]表示考虑前 i 件物品时，背包容量为 j 时所能获得的最大价值。
初始化： dp[0][j] = 0 (j >= 0)，dp[i][0] = 0 (i >= 0)。
状态转移： 对于每个物品 i，若其重量小于等于背包容量 j，则 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])，其中 w[i] 和 v[i] 分别表示物品 i 的重量和价值。
答案： dp[n][W]，其中 n 为物品总数，W 为背包容量。

完全背包的动态规划求解步骤：

定义状态： dp[i][j]表示考虑前 i 件物品时，背包容量为 j 时所能获得的最大价值。
初始化： dp[0][j] = 0 (j >= 0)，dp[i][0] = 0 (i >= 0)。
状态转移： 对于每个物品 i，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])，其中 w[i] 和 v[i] 分别表示物品 i 的重量和价值。
答案： dp[n][W]，其中 n 为物品总数，W 为背包容量。

四、背包问题的应用场景

背包问题在现实中广泛应用于：

资源分配： 有限资源下如何分配以获得最大收益。
生产计划： 生产计划安排以最大化产量。
物流运输： 运输路线安排以节省成本。
投资组合： 股票选择以获得最大收益。

五、代码示例（Python）

def backpack_01(items, capacity):
  n = len(items)
  dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]

  for i in range(1, n + 1):
    weight, value = items[i - 1]
    for j in range(1, capacity + 1):
      if weight <= j:
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight] + value)
      else:
        dp[i][j] = dp[i - 1][j]

  return dp[n][capacity]

def backpack_complete(items, capacity):
  n = len(items)
  dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]

  for i in range(1, n + 1):
    weight, value = items[i - 1]
    for j in range(1, capacity + 1):
      if weight <= j:
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight] + value)
      dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j])

  return dp[n][capacity]